Como estamos fazendo de 0 até 1, podemos imaginar um quadrado na área do gráfico de com lados de comprimento 1. Dividindo a área \( S \) em quatro faixas, \( S_{1} \), \( S_{2} \), \( S_{3} \), e \( S_{4} \), com as retas veticais \( x = \frac{1}{4} \), \( \frac{1}{2} \), \( \frac{3}{4} \) e a existente \( 1 \) dividindo-as.

Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa. As alturas dos retângulos são os valores da função \( f(x) = x^{2} \) nas extremidades diretas dos subintervalos \( \left[0, \frac{1}{4}\right] \), \( \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right] \), \( \left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right] \) e \( \left[\frac{3}{4}, 1\right] \).

Cada retângulo tem largura de \( \frac{1}{4} \) e altura de \( \left(\frac{1}{4}\right)^{2} \), \( \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \), \( \left(\frac{3}{4}\right)^{2} \) e \( \left(1\right)^{2} \). Se \( R_{4} \) for a soma das áreas dos retângulos aproximantes, teremos

\[ R_{4} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2} + \frac{1}{4} \cdot 1^{2} = \frac{15}{32} = 0,46875 \]

Observação Os valores aqui estão ao quadrado pois estamos aplicando a função neles!

Por ser uma aproximação, temos que a área \( A \) de \( S \) é

\[ A < 0,46875 \]

Fazendo retângulos menores que tocam a curva em apenas um ponto (extremidade esquerda dos subintervalos), descobrimos uma outra área que server ajuda a definir o intervalo de \( A \).

\[ L_{4} = \frac{1}{4} \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{7}{32} = 0,21875 \]

\[ 0,21875 < A < 0,46875 \]

Podemos repetir esse procedimento com números maiores de faixas para encontrar resultados mais precisos. Fazendo isso, podemos chegar a deduzir um resultado como foi feito em limites.

Nesse exemplo, mil faixas nos dão

\[ 0,3328336 < A < 0,3338335 \]

Que, por ser próximo de 0,3333..., podemos dizer que tende a \( \frac{1}{3} \).

\( R_{n} \) é a soma das áreas dos retângulos. Cada retângulo tem uma largura \( \frac{1}{n} \), e as alturas são os valores da função \( f(x) = x^{2} \) nos pontos \( \frac{1}{n} \), \( \frac{2}{n} \), \( \frac{3}{n} \), ..., \( \frac{n}{n} \). Logo

\[ R_{n} = \frac{1}{n} \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^{2} + \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{2}{n}\right)^{2} + \frac{1}{n} \cdot \left(\frac{3}{n}\right)^{2} + ... + \frac{1}{n} \cdot \left(\frac{n}{n}\right)^{2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) = \frac{1}{n^{3}} (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... n^{2}) \]

Utilizamos aqui a fórmula para a soma dos quadrados dos \( n \) primeiros inteiros positivos:

\[ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \]

Colocando essa fórmula em \( R_{n} \), temos

\[ R_{n} = \frac{1}{n^{3}} \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^{2}} \]

Então, temos

\[ \lim_{n \to \infty} R_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6} \left(\frac{n + 1}{n}\right)\left(\frac{2n + 1}{n}\right) \text{Dividindo os termos em parênteses por $n$...} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6} \left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(2 + \frac{1}{n}\right) \text{Lembrando que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ e que o limite de uma constante é a própria constante...} = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{1}{3} \]

Com isso, podemos definir a área de \( S \)

\[ A = \lim_{n \to \infty} R_{n} = \lim_{n \to \infty} L_{n} = \frac{1}{3} \]

(a) Uma vez que \( a = 0 \) e \( b = 2 \), a largura de um subintervalo é

\[ \Delta{x} = \frac{2 - 0}{n} = \frac{2}{n} \]

Portanto, \( x_{1} = \frac{2}{n} \), \( x_{2} = \frac{4}{n} \), \( x_{3} = \frac{6}{n} \), \( x_{i} = \frac{2i}{n} \). A soma dos retângulos aproximantes é

\[ R_{n} = f(x_{1})\Delta{x} + f(x_{2})\Delta{x} + ... + f(x_{n})\Delta{x} = e^{-x_{1}}\Delta{x} + e^{-x_{2}}\Delta{x} + ... + e^{-x_{n}}\Delta{x} = e^{\frac{-2}{n}}\left(\frac{2}{n}\right) + e^{\frac{-4}{n}}\left(\frac{2}{n}\right) + ... + e^{\frac{-2n}{n}}\left(\frac{2}{n}\right) \]

Segundo a nossa definição, a área é

\[ A = \lim_{n \to \infty} R_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} (e^{\frac{-2}{n}} + e^{\frac{-4}{n}} + e^{\frac{-6}{n}} + ... + e^{\frac{-2n}{n}}) \]

Usando somatório teríamos

\[ A = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} e^{\frac{-2i}{n}} \]

(b) Com \( n = 4 \), os subintervalos com mesma largura \( \Delta{x} = 0,5 \) são \( [0; 0,5] \), \( [0,5; 1] \), \( [1; 1,5] \), e \( [1,5;2] \). Os pontos médios desses intervalos são \( x_{1}^{*} = 0,25 \), \( x_{2}^{*} = 0,75 \), \( x_{3}^{*} = 1,25 \) e \( x_{4}^{*} = 1,75 \), e a soma das áreas dos quatro retângulos aproximantes é

\[ M_{4} = \sum_{i = 1}^{4} f(x_{1}^{*}) \Delta{x} = f(0,25) \Delta{x} + f(0,75) \Delta{x} + f(1,25) \Delta{x} + f(1,75) \Delta{x} = e^{-0,25} (0,5) + e^{-0,75} (0,5) + e^{-1,25} (0,5) + e^{-1,75} (0,5) = \frac{1}{2} (e^{-0,25} + e^{-0,75} + e^{-1,25} + e^{-1,75}) \approx 0,8557 \]

Logo, uma estimativa para a área é

\[ A \approx 0,8557 \]

Com \( n = 10 \), os subintervalos são \( [0; 0,2] \), \( [0,2; 0,4], ..., [1,8; 2] \) e os pontos médios são \( x_{1}^{*} = 0,1 \), \( x_{2}^{*} = 0,3 \), \( x_{3}^{*} = 0,5 \), ..., \( x_{10}^{*} = 1,9 \). Assim

\[ A \approx M_{10} = f(0,1) \Delta{x} + f(0,3) \Delta{x} + f(0,5) \Delta{x} + ... + f(1,9) \Delta{x} = 0,2(e^{-0,1} + e^{-0,3} + e^{-0,5} + ... + e^{-1,9}) \approx 0,8632 \]