Notes
pelos alunos de Engenharia da Computação da Universidade Federal de Sergipe (UFS), turma de 2025
Matemática Básica
Produtos Notáveis
Expressões algébricas fundamentais. São notáveis pela sua importância na matemática.
Legenda
- \( \therefore \) significa Logo, Portanto
Propriedades
Nas última igualdades, a propriedade distributiva é aplicada.
Quadrado
Quadrado da Soma de Dois Termos
\[ (x + y)^{2} = (x + y) \cdot (x + y) = x^{2} + 2xy + y^{2} \]
Quadrado da Diferença de Dois Termos
\[ (x - y)^{2} = (x - y) \cdot (x - y) = x^{2} - 2xy + y^{2} \]
Produto da Soma pela Diferença da Dois Termos
\[ x^2 - y^{2} = (x + y) \cdot (x - y) \]
Visualização
Esta aula serve como visualização para essas operações.
Basicamente, imagine um quadrado. Nesse quadrado, para cada lado, divida-o—com "o" referindo-se ao lado—em um comprimento \( x \) e outro \( y \). Essas divisões serão feitas sob a mesma medida em todos os lados. Ao fazer isso, percebe-se que quadrados e retângulos são formados.
-
Quadrados: Um do comprimento maior, outro do menor.
-
Retângulos: Lados maiores têm o comprimento do maior, lados menores o do menor.
Feitas essas observações, fica claro que a área desse polígono, por ser um quadrado, é nada mais nada menos que \( (x + y)^{2} \). Como esse quadrado é composto por dois outros menores, fazemos uma igualdade:
\[ (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} \]
Porém, isso está incorreto, pois esquecemos dos dois retângulos—adicionando-os, chegamos à equação:
\[ (x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} \]
Cubo
Cubo da Soma de Dois Termos
\[ (x + y)^{3} = (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} \]
Cubo da Diferença de Dois Termos
\[ (x - y)^{3} = (x - y) \cdot (x - y) \cdot (x - y) = x^{3} - 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3} \]
Exceções
No caso de \( a = 1 \), \( b = 0 \), essa equivalência é correta:
\[ (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} \]
Exercícios
Produtos Notáveis: Parte 1 - Aula 25
Questão 1
Sejam \( x \) e \( y \) números reais positivos, onde:
- \( x^{2} + y^{2} = 91 \)
- \( x \cdot y = 15 \)
Encontre o valor de \( x + y \).
Resolução
\[ x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} \therefore \]
\[ (x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} \]
Como a ordem dos fatores não altera o resultado (pelo menos em operações simples como a soma):
\[ (x + y)^{2} = 91 + 30x + y = \sqrt{121} \therefore \]
\[ x + y = 11 \]
\( y \) e \( y \) são números reais e positivos, então -11 não é um resultado possível.
Questão 2
Sabendo-se que \( x + \frac{1}{x} = 5 \), calcule \(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \), onde \( x > 0 \).
Resolução
\[ (x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cancel{\cdot \frac{1}{x}} + \left(\frac{1}{x}\right)^{2} \therefore \]
\[ (x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} \]
O professor no vídeo recomenda nomear \( x^{2} + \frac{1}{x} \) para a equação não ficar "poluída". Farei o mesmo aqui:
\[ S = x^{2} + \frac{1}{x} \]
\[ 5^{2} = S + 2 \therefore \]
\[ S = 25 - 2 = 23 \]
Produtos Notáveis: Parte 2 - Aula 26
Questão 1
Sejam \( a \) e \( b \) números reais, podemos afirmar que \( a^{2} + b^{2} \geq 2ab \)?
Resolução
Como uma potência sempre resulta num número positivo (exemplo: \( -8^{2} = 64 \)), podemos usar o zero como ponto de partida:
\[ (a \pm b)^{2} \geq 0 \]
Como isso é uma desigualdade, podemos passar o \( 2ab \) para o outro lado:
\[ a^{2} + b^{2} \geq 2ab \]
Com isso, podemos afirmar que \( a^{2} + b ^{2} \) é sim maior ou igual à \( 2ab \).
Questão 2
Considere três números reais \( a \), \( b \) e \(c \), tal que \(a > b > c\). Podemos afirmar que \(a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + ac + bc\)?
Resolução
\[ (a - b)^{2} \geq 0 \therefore a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0 \therefore a^{2} + b^{2} \geq 2ab \]
\[ (a - c)^{2} \geq 0 \therefore a^{2} - 2ac + c^{2} \geq 0 \therefore a^{2} + c^{2} \geq 2ac \]
\[ (b - c)^{2} \geq 0 \therefore b^{2} - 2bc + c^{2} \geq 0 \therefore b^{2} + c^{2} \geq 2bc \]
Como uma igualdade, somando os termos de uma desigualdade, mesmo se somados, continuarão verdadeiros.
Exemplo:
\[ 5 \geq 1 \]
\[ 7 \geq 2 \]
\[ \therefore 12 \geq 3 \]
Tendo isso em vista, podemos simplesmente pegar as últimas desigualdades, viz. \( a^{2} + b^{2} \geq 2ab \), \( a^{2} + c^{2} \ge q2ac \), \(b^{2} + c^{2} \geq 2bc \), e fazer a comparação:
\[ 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} = 2ab + 2ac + 2bc \]
Cortando os 2, chegamos ao resultado:
\[ \cancel{2}a^{2} + \cancel{2}b^{2} + \cancel{2}c^{2} = \cancel{2}ab + \cancel{2}ac + \cancel{2}bc = a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + ac + bc \]
Com isso, podemos afirmar que \( a^{2} + b^{2} + c^{2} \) é sim maior que \( ab + ac + bc \).
Produtos Notáveis: Parte 3
Questão 1
Sejam \( x \), \( y \) e \( z \) números positivos, onde \( x^{2} + y^{2} + z^{2} = 38 \) e \( xy + xz + yz = 31 \), calcule o valor de \( x + y + z \).
Resolução
O professor deu uma boa sugestão, para dividir em termos quando tiver três termos (com \( x + y \) sendo o "primeiro termo"):
\[ (x + y + z)^{2} = [(x + y) + z]^{2} \]
\[ (x + y)^{2} + 2 \cdot (x + y) \cdot z + z^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} + 2xz + 2yz + z^{2} \]
Arrumando a ordem, fica fácil de substituir:
\[ (x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2yz + 2xz \]
\[ (x + y + z)^{2} = 38 + 31 \cdot 2 \]
\[ (x + y + z)^{2} = 100 \therefore \]
\[ x + y + z = \sqrt{100} \]
\[ x + y + z = 10 \]
Questão 2
Sabendo-se das seguintes afirmações:
- \( x \) e \( y \) são números reais
- \( x \cdot y = 9 \)
- \( x + y = 6 \)
Calcule o valor de \( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 \).
Resolução
Para igualar os denominadores, o professor multiplica os numeradores pelos denominadores:
\[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = \frac{x^{2}}{xy} + \frac{y^{2}}{xy} + \frac{2xy}{xy} \]
A primeira fração foi multiplicada por \( x \), a segunda por \( y \) e a última por \( xy \) para igular.
Já sabmos o valor de \( x \cdot y \), é 9—podemos juntar tudo:
\[ \frac{x^{2} + 2xy + y^{2}}{9} = \frac{(x + y)^{2}}{9} \]
E também sabemos que \( x + y = 6 \), logo chegamos ao resultado:
\[ 6^{2} = 36 \therefore \]
\[ \frac{(x + y)^{2}}{9} = \frac{36}{9} = 4 \]
Produtos Notáveis: Parte 4 - Aula 28
Questão 1
Calcule o valor de \( 0,651^{2} - 0,349^{2} \).
Resolução
\[ 0,0651^{2} - 0,349^{2} = (0,651 + 0,349) \cdot (0,651 - 0,349) \therefore \]
\[ 0,651^{2} - 0,349^{2} = 1 \cdot 0,302 \]
Questão 2
Desenvolva e reduza os termos semelhantes:
\[ (x + y)^{2} + (x + y) \cdot (x - y) \]
Resolução
\[ (x + y)^{2} + (x + y) \cdot (x - y) \]
O quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
\[ x^{2} + 2xy + y^{2} + (x + y) \cdot (x - y) \]
\[ x^{2} - y^{2} = (x + y) \cdot (x - y) \therefore \]
\[ x^{2} + 2xy + y^{2} + (x + y) \cdot (x - y) = x^{2} + 2xy + y^{2} + x^{2} - y^{2} \]
Cancelando:
\[ x^{2} + 2xy \cancel{+ y^{2}} + x^{2} \cancel{- y^{2}} = 2x^{2} 2xy \]
Questão 3
Sabendo-se as seguintes afirmações:
- \( 9x + 5y = 1 \)
- \( 9x - 5y = 3 \)
Calcule o valor de \( \frac{2^{81x^{2}}}{2^{25y^{2}}} \).
Resolução
\[ \frac{2^{81x^{2}}}{2^{25y^{2}}} = 2^{81x^{2} - 25y^{2}} \]
\[ x^{2} - y^{2} = (x + y) \cdot (x - y) \therefore \]
\[ 2^{81x^{2} - 25y^{2}} = 2^{1 \cdot 3} = 8 \]
Produtos Notáveis: Parte 5 - Aula 29
Questão 1
Desenvolva \( (x + 2)^{3} \).
Resolução
\[ (x + 2)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} + 2^{3} = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 \]
Questão 2
Seja \( x > 0 \), onde \( x + \frac{1}{x} = 4 \), calcule o valor de \( x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \).
Resolução
\[ \left(x^{3} + \frac{1}{x}\right)^{3} = x^{3} + 3x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} \]
Dá pra cancelar uns x:
\[ \left(x^{3} + \frac{1}{x}\right)^{3} = x^{3} + 3\cancel{x^{2}} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} + 3\cancel{x} \cdot \frac{1}{\cancel{x^{2}}} + \frac{1}{x^{3}} \therefore \]
\[ \left(x^{3} + \frac{1}{x}\right)^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3x + \frac{3}{x} \]
Substituindo o valor:
\[ 4^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3x + \frac{3}{x} \]
Observamos que \( 3x + \frac{3}{x} \) é simplesmente o triplo de \( x + \frac{1}{x} = 4 \), então adicionamos o valor:
\[ 4^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 12 \therefore \]
\[ x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 64 - 12 = 52 \]
Questão 3
Seja \( x + y + z = 0 \), demonstre que \( x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz \).
Resolução
\[ x + y + z = 0 \therefore \]
\[ x + y = -z \]
\[ (x + y)^{3} = (-z)^{3} \therefore \]
\[ x^{3} + 3x^{2}y + 3x^{2} + y^{3} = -z^{3} \therefore \]
\[ x^{3} + y^{3} + z^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} = 0 \]
Como \( x + y = -z \), podemos aplicar a distributiva para chegar ao valor de \(3x^{2}y + 2xy^{2} \):
\[ 3x^{2}y + 3xy^{2} = 3xy \cdot (x + y) = 3xy \cdot (-z) \therefore \]
\[ 3x^{2}y + 3xy^{2} = -3xyz \]
\[ x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = 0 \therefore \]
\[ x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = 0 \]
Produtos Notáveis Parte 1 - Aula 30
Questão 1
(35ª OBM/1ª Fase)
Na adição de temos iguais, \( 2013^{2013} + 2013^{2013} + 2013^{2013} + ... + 2013^{2013} = 2013^{2014} \), escrita de forma simplificada, foram escritos muitos sinais de adição (+). Quantos sinais foram escritos?
a) 1006 b) 2009 c) 2012 d) 2014 e) 4026
Resolução
Para simplificar, podemos deixar a igualdade com o mesmo expoente:
\[ 2013^{2014} = 2013 \cdot 2013^{2013} \]
Com isso, também notamos que, para o resultado ser 2014 nessa forma, 2013 parcelas são necessárias. Como o primeiro número não usa sinal, 2012 sinais foram escritos.
Alternativa C.
Questão 2
(35ª OBM/2ª Fase [Adaptada])
Sendo \( x \) e \( y \) números reais, os quais as seguintes afirmações se aplicam:
- \(x^{3} + y^{3} = 5 \cdot (x + y) \)
- \( x^{2} + y^{2} = 4 \)
- \( x + y \neq 0 \)
Determine o valor de \( x \cdot y \).
a) 4 b) 3 c) 1 d) 0 e) -1
Resolução
Para a primeira afirmação, aplicando as propriedades:
\[ (x + y) \cdot (x^{2} - xy + y^{2}) \]
\[ x^{3} \cancel{- x^{2}y} \cancel{+ xy^{2}} \cancel{+ x^{2}y} \cancel{- xy^{2}} + y^{3} \]
\[ x^{3} + y^{3} = (x + y) \cdot (x^{2} - xy + y ^{2}) \]
\[ x^{3} - y^{3} = (x + y) \cdot (x^{2} + xy + y ^{2}) \]
Usando a primeira afirmação:
\[ x^{3} + y^{3} = 5 \cdot (x + y) \therefore \]
\[ (x + y) \cdot (x^{2} - xy + y^{2}) = 5 \cdot (x + y) \]
Pelos números serem diferentes de zero, podemos cancelar:
\[ \cancel{(x + y) \cdot} (x^{2} - xy + y^{2}) = 5 \cancel{\cdot (x + y)} \]
Usando a segunda afirmação:
\[ 4 - xy = 5 \therefore \]
\[ xy = 1 \]
Alternativa C.
Resolução de exercícios: Produtos Notáveis Parte 2 - Aula 31
Questão 1
(35ª OBM)
Determine \( x + y \), onde \(x \) e \( y \) são reais, sabendo que \( x^{3} + y^{3} = 9 \) e \( x^{2}y + xy^{2} = 6 \).
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolução
\[ (x + y)^{3} = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} \]
\[ (x + y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} \]
Usando dos valores disponibilizados:
\[ (x + y)^{3} = 9 + 18 \therefore \]
\[ x + y = \sqrt[3]{27} = 3 \]
Alternativa C.
Questão 2
Um possível valor de \( ^{n} \) para que \( 2^{20} + 2^{26} + 2^{n} \) seja um quadrado perfeito, é:
a) 10 b) 15 c) 30 d) 20 e) 12
Resolução
\[ 20^{20} + 2^{26} + 2^{n} = (2^{10})^{2} + 2 \cdot (2^{10}) \cdot 2^{15} + 2^{n} \]
\[ 20^{20} + 2^{26} + 2^{30} = (2^{10})^{2} + 2 \cdot 2^{10} \cdot 2^{15} + (2^{15})^{2} = (2^{10} + 2^{15})^{2} \]
Um possível valor é \( n = 30 \).
Questão 3
A diferença dos quadrados de dois números naturais consecutivos sempre resulta num número ímpar?
Resolução
\[ (n + 1)^{2} - n^{2} = n^{2} + 2n + 1 - n^{2} \]
Cancelando:
\[ (n + 1)^{2} - n^{2} = \cancel{n^{2} +} 2n + 1 \cancel{- n^{2}} = 2n + 1 \]
Com isso, chegamos na conclusão que sim, sempre resultará num número ímpar.
Resolução de exercícios: OBM (Olimpíada Brasileira de Matemática) - Aula 32
Questão 1
(34ª OBM)
Sendo \(a \), \( b \) e \( c \) reais, tais que:
- \( ab \cdot (a + b + c) = 1001 \)
- \( bc \cdot (a + b + c) = 2002 \)
- \( ca \cdot (a + b + c) = 3003 \)
Encontre \( abc \).
Resolução
Podemos multiplicar as equações pelos termos que estão faltando para chegar à uma equação que contenha \( abc \):
\[ ab \cdot (a + b + c) = 1001 \therefore \]
\[ abc \cdot (a + b + c) = 1001c \]
\[ bc \cdot (a + b + c) = 2002 \therefore \]
\[ abc \cdot (a + b + c) = 1001a \]
\[ ca \cdot (a + b + c) = 3003 \therefore \]
\[ abc \cdot (a + b + c) = 3003b \]
Como a intenção é cancelar os números à direita da igualdade, podemos os decompor até 1001:
\[ abc \cdot (a + b + c) = 2002a \therefore \]
\[ abc \cdot (a + b + c) = 2 \cdot 1001 \cdot a \]
\[ abc \cdot (a + b + c) = 3003b \therefore \]
\[ abc \cdot (a + b + c) = 3 \cdot 1001 \cdot b \]
E aí pra tudo ficar 1001 mesmo, basta passar os números que estão multiplicando para o outro lado, dividindo:
\[ abc \cdot (a + b + c) = 2 \cdot 1001 \cdot a \therefore \]
\[ \frac{abc \cdot (a + b + c)}{2} = 1001a \]
\[ abc \cdot (a + b + c) = 3 \cdot 1001 \cdot b \therefore \]
\[ \frac{abc \cdot (a + b + c)}{3} = 1001b \]
Agora, devemos somar as expressões. Devido às propriedades das frações, é necessário fazer o MMC:
\[ abc \cdot (a + b + c) + \frac{abc \cdot (a + b + c)}{2} + \frac{abc \cdot (a + b + c)}{3} = \frac{(6abc + 3abc + 2abc) \cdot (a + b + c)}{6} \]
\[ \frac{(6abc + 3abc + 2abc) \cdot (a + b + c)}{6} = \frac{11abc \cdot (a + b + c)}{6} \]
E, com o outro lado da igualdade:
\[ 1001a + 1001b + 1001c = 1001 \cdot (a + b + c) \]
Com isso, podemos cancelar:
\[ \frac{11abc \cancel{\cdot (a + b + c)}}{6} = 1001 \cancel{\cdot (a + b + c)} = \frac{11abc}{6} = 1001 \]
\[ abc = \frac{6 \cdot 1001}{11} = abc = 6 \cdot 91 \therefore abc = 546 \]
Resolução de exercícios: Produtos Notáveis Parte 3 - Aula 33
Questão 1
Considere \( A = 1 \) e \( B = 1 \) e analize a seguinte sequência:
- \( A^{2} - B^{2} = A - B \)
- \( (A + b) \cdot (A - B) = A - B \)
- \( \frac{(A + B) \cancel{\cdot (A - B)}}{\cancel{A - B}} = \cancel{\frac{A - B}{A - B}} \)
- \( A + B = 1 \)
- \( 1 + 1 \neq 1 \)
Qual parte contribuiu para a desigualdade no final?
Resolução
O erro está na terceira parte. Não podemos simplificar uma indeterminação—nesse caso, \( \frac{A - B}{A - B} \) (que é igual à \( \frac{0}{0} \)).
Questão 2
Considere quatro números reais \( a \), \( b \), \( c \) e \( d \).
Mostre que se \( (a + b)^{2} + (b + c)^{2} + (c + d)^{2} = 4 \cdot (ab + bc + cd) \),, então \( a = b = c = d\).
Resolução
\[ a^{2} + 2ab + b^{2} + b^{2} + 2bc + c^{2} + c^{2} + 2cd + d^{2} = 4ab + 4bc + 4cd \]
\[ (a^{2} + 2ab - 4ab + b^{2}) + (b^{2} + 2bc - 4bc + c^{2}) + (c^{2} + 2cd - 4cd + d^{2}) = 0 \]
\[ (a^{2} - 2ab + b^{2}) + (b^{2} - 2bc + c^{2}) + (c^{2} - 2cd + d^{2}) = 0 \]
\[ (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - d)^{2} = 0 \]
Por serem potências, os valores são positivos ou zero. Como não dá para chegar num valor positivo, todos são zero:
| Igualdade com Zero | Resultado |
|---|---|
| \( a - b = 0 \) | \( a = b \) |
| \( b - c = 0 \) | \( b = c \) |
| \( c - d = 0 \) | \( c = d \) |
Resolução de exercícios: Produtos Notáveis Parte 4 - Aula 34
Questão 1
Sabendo-se que \( a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 \), onde \( a \), \( b \) e \(c \) são números reais, demonstre que \( -\frac{1}{2} \leq ab + ac + bc \leq 1 \).
Resolução
\[ (a - b)^{2} \geq 0 \therefore \]
\[ a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0 \therefore \]
\[ a^{2} + b^{2} \geq 2ab \]
\[ (b - c)^{2} \geq 0 \therefore \]
\[ b^{2} + c^{2} \geq 2bc \]
\[ (a - c)^{2} \geq 0 \therefore \]
\[ a^{2} + c^{2} \geq 2ac \]
Somando as expressões:
\[ 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} = 2ab + 2bc + 2ac \]
Simplificando por 2:
\[ a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc +ac \]
Como \( a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 \), a primeira parte está completa:
\( 1 \geq ab + bc + ac \) ou \( ab + bc + ac \leq 1 \).
Agora, a segunda parte:
\[ (a + b + c)^{2} \geq 0 \therefore \]
\[ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ac \geq 0 \]
\[ 1 + 2ab + 2bc + 2ac \geq 0 \therefore \]
\[ 2ab + 2bc + 2ac \geq -1 \]
Dá para dividir tudo por 2 para igualar, chegando à segunda parte:
\[ \cancel{2}ab + \cancel{2}bc + \cancel{2}ac \geq \frac{-1}{2} \]
Juntando as duas:
\[ -\frac{1}{2} \leq ab + bc \leq 1 \]
Resolução de exercícios: Produtos Notáveis Parte 5 - Aula 35
Questão 1
Demonstre a igualdade \( (a^{2} + b^{2}) \cdot (c^{2} + d^{2}) = (ad - bc)^{2} + (ac + bd)^{2} \).
Resolução
\[ a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} = (a^{2} d^{2} - 2adbc + b^{2} c^{2}) + (a^{2} c^{2} + 2adbc + b^{2} d^{2}) \]
\[ (a^{2} c^{2} + 2adbc + b^{2} d^{2}) = (ad - bc)^{2} + (ac + bd)^{2} \]
Questão 2
O produto de 4 números positivos consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito?
Resolução
\[ n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3) + 1 \]
Podemos multiplicar os extremos entre si:
\[ n \cdot (n + 3) = n^{2} + 3n \]
E os que estavam no meio também:
\[ (n + 1) \cdot (n + 2) = n^{2} + 2n + n + 2 \]
Então, podemos aplicar a propriedade distributiva com (n^{2} + 3n) como se fosse um único elemento:
\[ (n^{2} + 3n)^{2} + 2 \cdot (n^{2} + 3n) \cdot 1 + 1 = (n^{2} + 3n + 1)^{2} \]
Plataforma Base
Questão 1
Simplificando a expressão \( (x + 10)^{2} - x \cdot (x + 20) \), encontraremos:
a) 80 b) 75 c) 100 d) 50 e) 120
Resolução
\[ (x + 10)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2} \]
\[ \cancel{x^{2} \cdot 2 \cdot x \cdot 10} + 10^{2} \cancel{- x^{2} - 20x} = 100 \]
Alternativa C.
Questão 2
Realizando a simplificação da expressão algébrica \( \frac{(2x - 10) \cdot (2x + 10)}{x^{2} - 25 \), encontraremos:
a) x - 5 b) 2 c) 2x - 5 d) 4 e) \( 2x^{2} + 5 \)
Resolução
\[ x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x + 5) \cdot (x - 5) \]
Colocando em evidência o 2 no numerador:
\[ \frac{2 \cdot \cancel{(x - 5) \cdot} 2 \cancel{\cdot (x + 5)}}{\cancel{(x + 5) \cdot (x - 5)}} = 2 \cdot 2 = 4 \]
Alternativa D.
Questão 3
Simplificando a expressão \( (2x - 5) \cdot (2x + 5) - (2x - 5)^{2} \), encontramos:
a) \( 8x^{2} - 20x - 50 \) b) 20x - 50 c) 20x d) 50 e) 2x - 25
Resolução
Colocando o \( (2x - 5) \) em evidência:
\[ (2x - 5) \cdot ((2x + 5) - 2x - 5)) \]
\[ (2x - 5) \cdot (\cancel{2x} + 5 \cancel{- 2x} + 5) = 10 \cdot (2x - 5) = 20x - 50 \]
Alternativa B.
Questão 4
Sabe-se que \( x^{2} + y^{2} = 20 \) e \( xy = 3 \). Qual o valor de \( (x + y)^{2} \)?
a) 26 b) \( 20^{2} \) c) 60 d) \( 23^{2} \) e) 23
Resolução
A ordem dos fatores não altera o resultado:
\[ (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy \therefore \]
\[ (x + y)^{2} = 20 + 2 \cdot 3 \therefore \]
\[ (x + y)^{2} = 26 \]
Alternativa A.
Questão 5
A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença entre dois números rais é igual a:
a) Ao quádruplo do produto dos números. b) A soma dos quadrados dos dois números. c) A diferença dos quadrados dos dois números. d) Ao dobro do produto dos números. e) A diferença dos dois números.
Resolução
\[ (a + b)^{2} - (a - b)^{2} = (a^{2} + 2ab + b^{2}) - (a^{2} - 2ab + b^{2}) \]
Removendo os parênteses (tem que converter os sinais de todos à direita!):
\[ \cancel{a^{2}} + 2ab \cancel{+ b^{2} - a^{2}} + 2ab \cancel{b^{2}} = 2ab + 2ab = 4ab \]
Alternativa A.
Questão 6
Assinale a forma simplificada da expressão:
\[ \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{xy}{y + x} \cdot \frac{xy}{x - y} \]
a) 1 b) -1 c) \( \frac{(y - x)^{2}}{x^{2} - y^{2}} \) d) \( x^{2} - y^{2} \) e) \( y^{2} - x^{2} \)
Resolução
\[ y^{2} - x^{2} = (y - x) \cdot (y + x) \therefore \]
\[ \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{xy}{y + x} \cdot \frac{xy}{x - y} = \frac{(y - x) \cdot \cancel{(y + x)}}{\cancel{(xy)} \cancel{(xy)}} \cdot \frac{\cancel{xy}}{\cancel{y + x}} \cdot \frac{\cancel{xy}}{x - y} = \frac{(y - x)}{x - y} \]
Quando chegou nessa parte não entendi, mas segundo a correção você deve negativar:
\[ \frac{- \cancel{(x - y)}}{\cancel{x - y}} = -1 \]
Alternativa B.
Questão 7
Sabendo-se que:
- \( a + b = 6 \)
- \( a \cdot b = 4 \)
Quanto vale \( a^{2} + b^{2} \)?
a) 28 b) 16 c) 10 d) 32 e) 36
Resolução
\[ a + b = 6 \therefore \]
\[ (a + b)^{2} = 6^{2} \]
\[ 6^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \therefore \]
\[ a^{2} + b^{2} + 8 = 36 \therefore \]
\[ a^{2} + b^{2} = 36 - 8 \]
\[ 36 - 8 = 28 \therefore \]
\[ a^{2} + b^{2} = 28 \]
Alternativa A.
Questão 8
Assinale a alternativa que representa a forma mais simples da expressão:
\[ \frac{2x \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)}{x^{2} - 16} \]
a) 3 b) 2x - 8 c) \( x^{2} - 16 \) d) 2x + 8 e) 2
Resolução
\[ (x + 4) \cdot (x - 4) = x^{2} - 4^{2} \therefore \]
\[ \frac{2x \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)}{x^{2} - 16} = \frac{2 \cdot \cancel{x^{2} - 4^{2}}}{\cancel{x^{2} - 16}} \]
Alternativa E.
Questão 9
O produto de \( ( \sqrt{4} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{4} - \sqrt{5}) \) é:
a) 1 b) 4 c) -1 d) -20 e) 20
Resolução
\[ (\sqrt{4} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{4} - \sqrt{5} = \sqrt{4}^{2} - \sqrt{5}^{2} \]
Cancelando:
\[ \cancel{\sqrt{4}^{2}} - \cancel{\sqrt{5}^{2}} = 4 - 5 = -1 \]
Alternativa C.
Questão 10
Qual é o resultado, na forma mais simples, da operação \( \frac{4x^{2}}{1 - x^{2}} - \frac{1 - x}{1 + x} + \frac{1 + x}{1 - x} \):
a) \( \frac{4x^{2}}{(1 - x)} \) b) \( \frac{4x}{(1 - x)} \) c) \( \frac{4}{(1 - x)} \) d) \( \frac{4x +1}{(1 + x)} \) e) \( \frac{4 \cdot (x + 1)}{(1 - x)} \)
Resolução
\[ \frac{4\cancel{x^{2}}}{1 \cancel{- x^{2}}} - \frac{1 \cancel{- x}}{1 \cancel{+ x}} = 4 - 1 + 1 = 4 \]
\[ \frac{4\cancel{x}}{1 \cancel{- x}} = 4 \]
Alternativa B.
Referências Bibliográficas
GOUVEIA, Rosimar. Produtos Notáveis. Em: Toda Matéria. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/produtos-notaveis/. Acesso em: 7 mai. 2025.
Vetores
Referências Bibliográficas
Principal
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analitica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
Complementar
REIS, G. L. DOS; SILVA, V. V. DA. Geometria analitica. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Tecnicos e Cientificos, 1996.
Estrutura
- Dividido em 3 unidades
- Aulas antes da prova são de exercícios
Unidade 1
- Capítulos 1, 2, 3 e 4.
- Prova 12/06
Unidade 2
- Capítulos 5, 6 e 7.
- Prova: 07/08
Unidade 3
- Capítulos 8 e 9.
- Prova: 09/09
Programação
[...] [P]rocesso de escrita, testes e manutenção de programas de computadores. Esses programas, por sua vez, são compostos por conjuntos de instruções determinados pelo programador que descrevem tarefas a serem realizadas pela máquina e atendem diversas finalidades.
— Autor Desconhecido. I Do Code. Disponível em: https://idocode.com.br/blog/programacao/o-que-e-programacao. Acesso em: 20 mai. 2025.
[Informática] Área do conhecimento que se dedica ao desenvolvimento e/ou à criação de programas de computador.
— Autor Desconhecido. Dicio. Disponível em: https://dicio.com.br/programacao. Acesso em: 20 mai. 2025.
[Sobre o verbo "programar"]
Fornecer instruções a uma máquina ou a um mecanismo para um procedimento automático (ex.: programar a máquina de lavar; programar o alarme). [Informática] Dividir o problema entregue ao computador ou ao calculador em instruções codificadas e aceitáveis pela máquina.
— Autor Desconhecido. priberam. Disponível em: https://dicionario.priberam.org/programa%C3%A7%C3%A3o. Acesso em: 20 mai. 2025.
Escrever [instruções] em uma linguagem específica que a máquina entenda [para] poder gerar essas aplicações [em referência às imagens].
— MACEDO, H. (ED.). 01Oqueprogramar, 16 Feb. 2022. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=OtznOZE6-ns. Acesso em: 27 mai. 2025.
Pureza
O resultado de uma função depende dos argumentos que foram passados a esta.
Refatoramento
Parâmetros
Paradigma
Conjunto de regras que definem como um problema de código deve ser abordado. Essas regras podem até chegar a definir como o código de uma determinada linguagem é escrito.
Programação Funcional
Segue o modelo das funções matemáticas.
Imutabilidade
Por padrão, uma variável, mesmo que modificada em uma função, mantém o mesmo valor.
const variavel = 10;
// Divide um número por 2.
function divideByTwo(num) {
return num / 2;
}
console.log(divideByTwo(variavel));
// Mesmo que `variavel` tenha sido modificada na função, o seu valor se mantém.
console.log(variavel);
Determinismo
Dado um mesmo argumento, uma função deve sempre produzir o mesmo resultado.
// Soma um número com 2.
function plusTwo(num) {
return num + 2;
}
Linguagem
Sistema de notação para a escrita de programas de computador.
JavaScript
Linguagem multi-paradigma usada principalmente para o desenvolvimento web.
Hello, World!
// A partir de uma função.
function helloWorld() {
return "Hello, World!";
}
console.log(helloWorld()); // Maneira de printar uma mensagem para o console.
// Diretamente.
console.log("Hello, World!");
Comparação
O operador de comparação (==) verifica se duas variáveis possuem o mesmo valor, enquanto o operador de comparação estrito (===) faz o mesmo, mas adicionalmente verifica se dois valores são do mesmo tipo.
const num = 0; // tipo "Number".
const big = 0n; // tipo "BigInt".
console.log(num == big); // true
console.log(num === big); // false