Notes

pelos alunos de Engenharia da Computação da Universidade Federal de Sergipe (UFS), turma de 2025

Sumário

Notes é um site criado por Gabriel Santos de Souza para hospedar anotações digitais para as matérias cursadas, ou quaisquer outros temas que os membros da turma queiram partir conhecimento.

Tecnologias

Tecnologias usadas para a criação do site.

1. Git.
2. GitHub.
3. Markdown.
4. mdbook.
5. JavaScript.
6. MathJax.
7. EditorConfig.
8. Nix.

Referências Bibliográficas

MCCANN, Tyler. Tylerdotrar/example-mdbook. Disponível em: https://github.com/tylerdotrar/Example-mdBook. Acesso em: 6 mai. 2025.

Cálculo

Cálculo (também conhecido como cálculo infinitesimal) é o campo da matemática especializado no cálculo de taxas de variação (cálculo diferencial) e a soma de fatores infinitamente pequenos para determinar um valor inteiro (cálculo integral) mediante o uso de funções. É a área da matemática que estuda a mudança. Ele liga a geometria à física.

Funções

Relação entre dois conjuntos, suponha \( X \) e \( Y \), onde para cada valor de \( X \), há apenas um valor de \( Y \).

Para mais informações sobre esse assunto, leia o trecho de funções na porção de Fundamentos Elementares da Matemática.

Cálculo Diferencial

Tem como foco o encontro da derivada (também conhecida como *c de uma função, que indica a taxa de variação de uma função, meidante uma reta tangente a dois pontos o gráfico (indicada por \( f' \)). Ela pode indicar conceitos como a aceleração ou desaceleração, além de estabelecer regras claras para tracejar o gráfico de uma função.

Cálculo Integral

Este tem como foco a integral, que permite o cálculo da área embaixo do gráfico, independente da sua forma. Com isso, é possível cálcular a área de estruturas não convencionais (que não são polígonos).

Referências Bibliográficas

BERGGREN, J. L. Calculus. Encyclopedia Britannica, 30 ago. 2025. Disponível em: https://www.britannica.com/science/calculus-mathematics. Acesso em: 15 set. 2025.

Muñoz, J. Cálculo: o que é e qual a sua importância? Jovens Cientistas, 10 jun. 2022. Disponível em: https://www.jovenscientistasbrasil.com.br/post/c%C3%A1lculo-o-que-%C3%A9-e-qual-a-sua-import%C3%A2ncia. Acesso em: 15 set. 2025.

Rossini, M. C. O que é o cálculo – e como ele causou a maior disputa da história da matemática. Superinteressante, 12 dez. 2023. Disponível em: https://super.abril.com.br/ciencia/o-que-e-o-calculo-e-como-ele-causou-a-maior-disputa-da-historia-da-matematica/. Acesso em: 15 set. 2025.

Cálculo A

Primeira partição do estudo de cálculo para alguns cursos, como os de computação. Outros, como Engenharia Cívil, cursam Cálculo I.

A diferença está no conteúdo. Cálculo A abrange somente o cálculo diferencial, enquanto cálculo I, de maneira menos aprofundada, chega até parte do cálculo integral.

Referências Bibliográficas

STEWART, James. Cálculo. 7. ed. [S.l.]: Cengage Learning, 2021. v. 1

O Limite de uma Função

Suponha que \( f(x) \) seja definido quando está próximo de \( a \) (\( f \) é definido num intervalo aberto com \( a \)). Então escrevemos

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

e dizemos "o limite de \( f(x) \), quando \( x \) tende a \( a \), é igual A \( L \)" se pudermos tornar os valores de \( f(x) \) arbitrariamente próximos de \( L \), ao tornar \( x \) suficientemente próximo de \( a \) (por ambos os lados de \( a \)) mas não igual a \( a \).

Em termos matemáticos

\[ x \to a \implies \lim_{x \to a} f(x) = L \implies f(x) \to L, x \neq a \]

Exemplo

Estime o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^{2} - 1} \).

Exemplo

Estime o valor de \( \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^{2} + 9} - 3}{t^{2}} \).

Exemplo

Faça uma estimativa de \( \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen x}}{x} \).

Exemplo

Analise \( \lim_{x \to 0} \text{sen} \frac{\pi}{x} \).

Limites Laterais

Esquerda

Escrevemos

\[ \lim_{x \to a^{-}} f(x) = L \]

e dizemos que o limite de \( f(x) \) quando x tende a \( a \) pela esquerda é igual a \( L \) se pudermos tornar os valores de \( f(x) \) arbitrariamente próximos de \( L \), para \( x \) suficientemente próximo de \( a \) e menor que \( a \).

Direita

O mesmo é valido para o oposto

\[ \lim_{x \to a^{+}} f(x) = L \]

trocando esquerda por direita e menor por maior.

Conclusão

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^{-}} f(x) = L \land \lim_{x \to a^{+}} f(x) = L \]

Cálculos Usando Propriedades dos Limites

• Propriedade da Soma: \( \lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \)
• Propriedade da Diferença: \( \lim_{x \to a}[f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \)
• Propriedade da Multiplicação por Constante: \( \lim_{x \to a}[cf(x)] = c \lim_{x \to a} f(x) \)
• Propriedade do Produto: \( \lim_{x \to a}[f(x)g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \)
• Propriedade do Quociente: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \) se \( \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \)
• Propriedade da Potência: \( \lim_{x \to a} [f(x)]^{n} = \left[\lim_{x \to a} f(x)\right]^{n} \)
• Propriedade da Constante: \( \lim_{x \to a} c = c \text{ e } \lim_{x \to a} x = a \)
• Propriedade do Expoente: \( \lim_{x \to a} x^{n} = a^{n} \)
• Propriedade da Raiz: \( \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \)

Exemplo

Calcule os limites.

(a) \( \lim_{x \to 5} (2x^{2} - 3x + 4) \)

(b) \( \lim_{x \to -2} \frac{x^{3} + 2x^{2} - 1}{5 - 3x} \)

Propriedade de Substituição Direta

Se \( f \) for uma função polinomial ou racional e \( a \) estiver no domínio de \( f \), então

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

Exemplo

Encontre \( \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \).

Observação Se \( f(x) = g(x) \) quando \( x neq a \), então \( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) \), desde que o limite exista.

Exemplo

Encontre \( \lim_{ \to 1} g(x) \) onde

\[ g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{se } x \neq 1 \pi & \text{se } x = 1 \end{cases} \]

Exemplo

Calcule \( \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^{2} - 9}{h} \).

Exemplo

Encontre \(lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^{2} + 9} - 3}{t^{2}} \).

Exemplo

Mostre que \( \lim_{x \to 0} |x| = 0 \).

Exemplo

Demonstre que \( \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \) não existe.

Exemplo

Se

\[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x - 4} & \text{se } x > 4 8 - 2x & \text{se } x < 4 \end{cases} \]

determine se \( \lim_{x \to 4} f(x) \) existe.

Igualdade de Limites

Se \( f(x) \leq g(x) \) quando \( x \) está próximo a \( a \) (exceto possivelmente em \( a \)) e os limites de \( f \) e \( g \), ambos existem quando \( x \) tende a \( a \), então

\[ \lim_{x \to a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x) \]

Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche)

Se \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \) quando \( x \) está próximo a \( a \) (exceto possívelmente em \( a \)) e

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \]

então

\[ \lim_{x \to a} g(x) = L \]

Exemplo

Mostre que \( \lim_{x \to 0} x^{2} \tex{sen } \frac{1}{x} = 0 \).

Continuidade

Uma função \( f \) é contínua em un número \( a \) se

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

Exemplo

Onde cada uma das seguintes funções é descontínua?

(a) \( f(x) = \frac{x^{2} - x -}{x - 2} \)

(b) \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x^{2}} & \text{se } x \neq 0 \ 1 & \text{se } x = 0 \end{cases} \)

(c) \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \text{se } x \neq 2 \ 1 & \text{se } x = 2 \end{cases} \)

Lateralidade

Uma função \( f \) é contínua à direita em um número \( a \) se

\[ \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a) \]

e \( f \) é contínua à esquerda em \( a \) se

\[ \lim_{x \to a^{-}} = f(a) \]

Intervalo

Uma função \( f \) é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números do intervalo. Se \( f \) for definida somente de um lado da extremidade do intervalo, entendemos continuidade na extremidade como continuidade à direita ou à esquerda.

Exemplo

Mostre que a função \( f(x) = 1 - \sqrt{1 - x^{2}} \) é contínua no intervalo [-1, 1].

Teorema do Intervalo

Se \( f \) e \( g \) forem contínuas em \( a \) e se \( c \) for uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em \( a \):

1. \( f + g \)
2. \( f - g \)
3. \( cf \)
4. \( fg \)
5. \( \frac{f}{g} \) se \( g(a) \neq 0 \)

Teorema dos Conjuntos

(a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte.

(b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; ou seja, é contínua em seu domínio

Exemplo

Encontre \( \lim_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 2x^{2} - 1}{5 - 3x} \).

Teorema das Operações

Se \( f \) e \( g \) froem contínuas em \( a \) e \( c \) for uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em \( a \):

1. \( f + g \)
2. \( f - g \)
3. \( cf \)
4. ( fg \)
5. \( \frac{f}{g} & g(a) \neq 0 \)

Teorema dos Tipos de Funções Contínuas

Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios:

• Polinômios
• Funções Trigonométricas
• Funções Trigonométricas Inversas
• Funções Exponenciais
• Funções Racionais
• Funções Logarítmicas
• Funções Raízes

Exemplo

Onde a função \( f(x) = \frac{\ln x + \text{tg}^{-} x}{x^{2} - 1} \) é contínua?

Exemplo

Calcule \( \lim_{x \to \pi} \frac{\text{sen } x}{2 + \text{cos } x} \).

Teorema das Funções Compostas

\[ \lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) \]

Exemplo

Calcule \( \lim_{x \to 1} \text{arcsen } \left(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}\right) \).

Teorema do Valor Intermediário

Suponha que \( f \) seja contínua em um intervalo fechado \( [a, b] \) e seja \( N \) um número qualquer entre \( f(a) \) e \( f(b) \), em que \( f(a) \neq f(b) \). Então existe um número \( c \) em \( (a, b) \) tal que \( f(c) = N \).

Exemplo

Mostre que existe uma raiz da equação

\[ 4x^{3} - 6x^{2} + 3x - 2 = 0

\]

entre 1 e 2.

Limites Infinitos

Positivo

Seja \( f(x) \) uma função definida em ambos os lados de \( a \), exceto possívelmente no próprio \( a \). Então

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \infty \]

significa que podemos fazer os valores de \( f(x) \) ficarem arbitrariamente grandes tornando \( x \) suficientemente próximo de \( a \), mas não igual a \( a \).

Exemplo

Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} \), se existir.

Negativo

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \infty \]

Mesma coisa que o positivo, só que em vez de ficarem arbitrariamente grandes, os valores tecnicamente ficam "arbitrariamente pequenos", por serem negativos.

Assíntota Vertical

A reta \( x = a \) é chamada assíntota vertical da curva \( y = f(x) \) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:

• \( \lim_{x \to a} f(x) = \infty \)
• \( \lim_{x \to a} f(x) = -\infty \)
• \( \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \infty \)
• \( \lim_{x \to a^{-}} f(x) = -\infty \)
• \( \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \infty \)
• \( \lim_{x \to a^{+}} f(x) = -\infty \)

Exemplo

Encontre as assíntotas de \( f(x) = \text{tg } x\).

Assíntotas Horizontais

A reta \( y = L \) é chamada assíntota horizontal da curva \( y = f(x) \) se

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = L \text{ ou } \lim_{x \to -\infty} f(x) = L \]

Uma função pode ter mais de uma assíntota horizontal.

Postivo

Seja \( f \) uma função definida em algum intervalo, \( (a, \infty) \). Então

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = L \]

significa que os valores de \( f(x) \) ficam arbitrariamente próximos de \( L \) tomando \( x \) suficientemente grande.

Lembrando que \( \infty \) não é um número.

Negativo

Mesma coisa que o positivo, só que em vez de tomar valores arbitrariamente grandes, os valores tecnicamente seriam "arbitrariamente pequenos", por serem negativos.

Exemplo

Encontre \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \) e \( \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \).

Teorema

Se \( r > 0 \) for um número racional, então

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{r}} = 0 \]

Se \( r > 0 \) for um número racional tal que \( x^{r} \) seja definida para todo \( x \), então

\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{r}} = 0 \]

Exemplo

Calcule

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2} - x - 2}{5x^{2} + 4x + 1} \]

e indique quais propriedades de limites foram usadas em cada etapa.

Exemplo

Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função

\[ f(x) = \frac{\sqrt{2x^{2} + 1}}{3x - 5} \]

Exemplo

Calcule \( \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} - x) \).

Limite da Função Exponencial Natural

\[ \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0 \]

Exemplo

Calcule \( \lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{1}{x}}.

Exemplo

Calcule \( \lim_{x \to \infty} \text{sen } x \).

Limites Infinitos no Infinito

Exemplo

Encontre \( \lim_{x \to \infty} x^{3} \) e \( \lim_{x \to -\infty} x^{3} \).

Quando \( x \0 torna-se grande, \( x^{3} \) também fica grande. Então

\[ \lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty \]

Exemplo

Encontre \( \lim_{x \to \infty} (x^{2} - x) \).

Derivadas

Regras de Derivação

Cálculo B

Segunda partição do estudo de cálculo para alguns cursos, como os de computação. Outros, como Engenharia Civil, cursam Cálculo II.

A diferença está no conteúdo. Cálculo B abrange parte do cálculo infinitesimal, enquanto cálculo II fala ainda mais sobre esse tema.

Referências Bibliográficas

STEWART, James. Cálculo. 7. ed. [S.l.]: Cengage Learning, 2021. v. 1

O Problema da Área

Área é um termo fácil de ser definido para regiões com lados retos. Em um retângulo, pro exemplo, a área é o produto do comprimento e da largura. Em um triângulo, é metade da base vezes a altura. Seguindo aquele método grego de exaustão, podemos encontrar a área de outros polígonos dividindo-os em múltiplos triângulos, somando as áreas desses triângulos no final.

Isso não é tão fácil quando estamos lidando com uma região com lados curvos. Podemos fazer uma aproximação dessas áreas ao dividir o gráfico em retângulos e depois tomando o limite das áreas dos retângulos, a medida que o número de retângulos aumenta.

Exemplo

Use retângulos para estimar a área sob a parábola \( y = x^{2} \) de 0 até 1.

Exemplo

Para a região \( S \) do Exemplo 1, mostre que a soma das áreas dos retângulos aproximantes superiores tende a \( \frac{1}{3} \), isto é,

\[ \lim_{n \to \infty} R_{n} = \frac{1}{3} \]

Área

A área \( A \) da região \( S \) que está sob o gráfico de uma função contínua \( f \) é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

\[ A = \lim_{n \to \infty} R_{n} = \lim_{n \to \infty}\left[f(x_{1})\Delta{x} + f(x_{2})\Delta{x} + ... + f(x_{n})\Delta{x}\right] \Delta{x} = \frac{b - a}{n}, b = \text{fim do intervalo}, a = \text{início do intervalo} \]

Tomando a extremidade esquerda chegamos no mesmo valor, só que com um \( n \) diferente

\[ A = \lim_{n \to \infty} L_{n} = \lim_{n \to \infty}\left[f(x_{0})\Delta{x} + f(x_{1})\Delta{x} + ... + f(x_{n - 1})\Delta{x}\right] \Delta{x} = \frac{b - a}{n}, b = \text{fim do intervalo}, a = \text{início do intervalo} \]

Devido a essa igualdade, em vez de usarmos as extremidades, podemos usar outras partes dos intervalos onde a curva toca os retângulos primeiro. Esses pontos, representados por \( x_{n}^{*} \) são chamados de pontos amostrais.

\[ A = \lim_{n \to \infty} \left[f(x_{1}^{*})\Delta{x} + f(x_{2}^{*})\Delta{x} + ... + f(x_{n}^{*})\Delta{x}\right] \]

Um jeito de reescrever isso é usando somatório:

\[ A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}^{*}) \Delta{x} \]

Exemplo

Seja \( A \) a área da região que está sob o gráfico de \( f(x) = e^{-x} \) entre \( x = 0 \) e \( x = 2 \).

(a) Usando as extremidades direitas, encontre uma expressão para \( A \) como um limite. Não calcule o limite.

(b) Estime a área tomando como pontos amostrais os pontos médios e usando quatro e depois dez subintervalos.

O Problema da Distância

A tarefa neste problema é encontrar a distância percorrida por um objeto durante um certo período de tempo, sendo que a velocidade é conhecida em todos os instantes. Se a velocidade permanece constante, então o problema é fácil de resolver por meio da fórmula

\[ \text{distância} = \text{velocidade} \times \text{tempo} \]

Mas se a velocidade variar, não é tão fácil assim.

Exemplo

Suponha que queiramos estimar a distância percorrida por um carro durante um intervalo de tempo de 30 segundos. A cada 5 segundos registramos a leitura do velocímetro na seguinte tabela:

Para termos o tempo e a velocidade em unidades constantes, podemos a velocidade para metros por segundo:

Multiplicando as velocidades pelos tempos podemos fazer estimativas das distâncias percorridas nos intervalos

\[ \text{De 0 a 5 segundos} 7,5 \text{ m/s } \times 5 \text{ s } = 37,5 \text{ m} \text{De 5 a 10 segundos} 9,4 \text{ m/s } \times 5 \text{ s } = 47 \text{ m} \text{Fazendo o resto...} (7,5 \times 5) + (9,4 \times 5) + (10,6 \times 5) + (12,8 \times 5) + (14,2 \times 5) + (13,9 \times 5) = 342 \text{ m} \]

Podemos, da mesma forma, usar a velocidade no fim de cada intervalo de tempo em vez de no começo como a velocidade constante.

\[ (9,4 \times 5) + (10,6 \times 5) + (12,8 \times 5) + (14,2 \times 5) + (13,9 \times 5) + (12,5 \times 5) = 367 \text{ m} \]

Para aumentar a precisão, podemos reduzir os segundos feitos entre leituras.

Que nem no problema da área, podemos fazer os retângulos nos gráfico. Os resultados que conseguimos são as áreas dos triângulos (o primeiro triângulo teem área 37,5).

Em geral, suponha que o objeto se mova com velocidade \( v = f(t) \), em que \( a \leq t \leq b \) e \( f(t) \geq 0 \) (logo, o objeto move-se sempre no sentido positivo). Vamos registrar as velocidades nos instantes \( t_{0} (= a) \), \( t_{1} \), \( t_{2} \), ..., \( t_{n} (= b) \), de forma que a velocidade seja aproximadamente constante em cada subintervalo. Se esses tempos forem igualmente espaçados, então entre duas leituras consecutivas temos o período de tempo \( \Delta{t} = \frac{b - a}{n} \). Durante o primeiro intervalo de tempo a velocidade é aproximadamente \( f(t_{0}) \) e, portanto, a distância percorrida é de aproximadamente \( f(t_{0}) \Delta{t} \). Analogamente, a distância percorrida durante o segundo intervalo de tempo é cerca de \( f(t_{1}) \Delta{t} \) e a distância total percorrida durante o intervalo de tempo \( [a, b] \) é de aproximadamente

\[ f(t_{0}) \Delta{t} + f(t_{1}) \Delta{t} + ... + f(t_{n} - 1) \Delta{t} = \sum_{i = 1}^{n} f(t_{i - 1}) \Delta{t} \]

Se uarmos as velocidades nas extremidades direitas em vez de nas extremidades esquerdas, nossa estimativa para a distância total ficará

\[ t(t_{1}) \Delta{t} + f(t_{2}) \Delta{t} + ... + f(t_{n}) \Delta{t} = \sum_{i = 1}^{n} f(t_{i}) \Delta{t} \]

Quanto mais frequentemente medirmos a velocidade, mais precisa será nossa estimativa, então parece plausível que a distância exata d percorrida é o limite de tais expressões:

\[ d = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(t_{i - 1}) \Delta{t} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(t_{i}) \Delta{t} \]

Com isso, temos que a distância percorrida é igual à área sob o gráfico da função velocidade.

Integral

Se \( f \) é uma função contínua definida em \( a \leq x \leq b \), dividimos o intervalo \( [a, b] \) em \( n \) subintervalos de comprimentos iguais \( \Delta{x} = \frac{(b - a)}{n} \). Sejam \( x_{0} (= a) \), \( x_{1} \), \( x_{2} \), ..., \( x_{n} (= b) \) as extremidades desses subintervalos, e sejam \( x_{1}^{} \), \( x_{2}^{*} \), ..., \( x_{n}^{} \) pontos amostrais arbitrários nesses subintervalos, de forma que \( x_{i}^{*} \) esteja no i-ésimo subintervalo \( [x_{i - 1}, x_{i}] \). Então a integral definida de \( f \) de \( a \) a \( b \) é

\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}^{*}) \Delta{x} \]

E dizemos que \( f \) é integrável em \( [a, b] \).

Legenda

• \( \int \) é o sinal de integral
• \( f(x) \) é o integrando
• \( a \) e \( b \) são os limites de integração
  • \( a \) é o limite inferior
  • \( b \) é o limite superior

Fundamentos Elementares da Matemática

Área da matemática focada em problemas de lógica e linguagem matemática (fórmulas, definições, provas, algoritmos...).

Referências Bibliográficas

DE SOUZA RABELO, Paulo. Assunta Bem! Matemática é Peleja. [S.l.: S.n.].

Noções de Lógica

Cálculo Proposicional

Na maioria das ciências, o raciocínio utilizado é indutivo, isto é, aquele baseado na experiência e experimentação. Na matemática, esse tipo de raciocínio também chega a ser usado, mas nem sempre é confiável.

Nesse campo, o mais usado é o dedutivo. Se as premissas (hipóteses) são verdadeiras e as leis aplicadas estão corretas, então a conclusão é necessariamente verdadeira.

Proposição

Uma proposição é uma afirmação que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Chamamos este fato de princípio do meio excluído.

Exemplo

Consideremos as seguintes afirmações:

(1) \( \sqrt{2} \) é um número irracional.

(2) Todo triângulo é isósceles.

(3) Que horas são?

(4) \( x + 1 = 2 \).

(5) Existem infinitos números primos.

(6) Vixe Maria!

(7) Esta afirmação é falsa.

(8) Paulo é um bom professor.

Questões imperativas e exclamativas não são proposições, como em (3) e (6). A afirmação (4) pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor de \( x \) associado. Ela é um predicado, uma afirmação contendo uma ou mais variáveis que se torna uma proposição quando atribuímos valores às variáveis. Por exemplo, chamando esse predicado de \( A(x) \) e fazendo \( A(1) \), temos que a proposição é verdadeira (o que não é o caso para \( A(2) \), ou qualquer valor de \( x \) na verdade).

A afirmação (7) é um paradoxo. A afirmação (8) não pode ser considerada uma proposição, pois é apenas uma opinião.

(1), (2) e (5) são proposições.

No estudo de lógica, usamos letras maiúsculas para representar proposições simples (geralmente \( P \), \( Q \), \( R \) e \( S \)), e atribuímos o valor \( V \) ou \( F \) a uma proposição se ela for verdadeira ou falsa, respectivamente. Usamos dos chamados conectivos lógicos para formar novas proposições a partir de outras existentes.

Conjunção

Numa conjunção, sendo \( P \) e \( Q \) proposições, então \( P \land Q \) é uma afirmação verdadeira quando ambos, \( P \) e \( Q \), são verdadeiros, e falsa caso contrário.

Esta afirmação é usualmente apresentada na forma de uma tabela-verdade, na qual se verifica o valor lógico de uma afirmação composta a partir das combinações dos valores lógicos das sentenças individuais que ela contém. O número de possibilidades para uma proposição como esta é de \( 2^{n} \), sendo \( n \) o número de proposições.

A estratégia para construir uma tabela-verdade com esse tipo de preposição é de sugerir que a proposição inicial é verdadeira na primeira metade dos casos e falsa no resto. Onde a primeira é verdadeira, em metade dos casos a segunda é verdadeira e na outra metade falsa; onde a primeira é falsa, a segunda é verdadeira em metade dos casos e falsa na outra metade.

Podemos fazer isso com quantas proposições quisermos.

Aqui temos um exemplo com duas:

E outro com três:

Disjunção

Numa disjunção, sendo \( P \) e \( Q \) proposições, então \( P \lor Q \) é uma afirmação verdadeira quando pelo menos um ds componentes for verdadeiro, e falso quando ambas forem falsas.

Aqui temos um exemplo com duas:

E outro com três:

Uma disjunção pode ser exclusiva ("ou um ou outro, nunca ambos", denotado por \( \oplus \) ou \( \underline{\lor} \)) ou inclusiva.

Negação

Na matemática, a dupla negação de uma proposição resulta na negação da negação, resultando nela mesma.

Exemplo

• \( P \): "Gosto de sorvete"
• \( ~P \): "Não gosto de sorvete"
• \( ~(~P) \): "Gosto de sorvete"

Observação A negação somente inverte o valor lógico de uma proposição, ou seja, não é só porque que uma proposição esteja sendo negada que ela é falsa. Ela pode ser falsa por padrão (fazendo com que sua negação seja verdadeira).

Implicações

Uma implicação \( P \implies Q \) é falsa somente quando a hipótese \( P \) é verdadeira e a conclusão \( Q \) é falsa. Um modo de entender o valor verdade de uma afirmação condicional é pensar nela como uma obrigação, uma promessa ou um contrato.

Em uma implicação \( P \implies Q \), \( P \) é chamada de hipótese e \( Q \) de conclusão (ou tese).

Exemplo

(1) Se o número \( a \) divide \( b \) e, por usa vez, \( b \) divide \( c \), então \( a \) divide \( c \).

(2) Se \( x \neq 0 \), então \( x^{2} > 0 \).

(3) Se \( p \) é primo e \( p > 2 \), então \( p \) é impar.

Equivalência Lógica

Duas afirmações \( P \) e \( Q \), simples ou compostas, são logicamente equivalentes se possuem a mesma tabela-verdade, ou seja, se possuem os mesmos valores lógicos. Denotamos este fato por \( P \equiv Q \).

Exemplos de Equivalência

• \( ~(P \lor Q) \equiv ~P \land ~Q \)
• \( ~(P \land Q) \equiv ~P \or ~Q \)
• \( (P \implies Q) \equiv (~P \lor Q) \)

Inversa

\[ ~P \implies ~Q \]

Assim como a negação, o sinal não importa, e sim o conteúdo.

Exemplo

(1) "Se eu sou sergipano, então eu sou brasileiro p" é um implicação válida, porém sua inversa é falsa: "Se eu não sou sergipano, então eu não sou brasileiro".

(2) "Se \( x \) é par, então x^{2} é par" é uma implicação verdadeira que possui uma inversa também vedadeira? "Se x é ímpar, então x^{2} é ímpar".

Contrapositiva

\[ ~Q \implies ~P \]

Recíproca

\[ Q \implies P \]

Se, e somente se

Quando em uma implicação \( P \implies Q \) é verdadeira e sua recíproca \( Q \implies P \) também é verdadeirqa, dizemos que temos uma bi-implicação (ou bicondicional), denotada por \( P \iff Q \) (tê-se \( P \) se, e somente se, \( Q \)).

Tautologias e Contradições

Uma tautologia é uma afirmação sempre verdadeira.

Uma contradição é uma afirmação sempre falsa.

Observação Expressões lógicas regulares são chamadas de contingências.

Formas Normais Disjuntiva e Conjuntiva

A Forma Normal Disjuntiva permite encontrar uma função lógica indeterminada mediante uma conjunção de disjunções, enquanto a conjuntiva usa uma disjunção de conjunções.

Exemplo

Qual a sentença lógica que fornecea tabela-verdade abaixo?

Quantificadores

Uma sentença aberta (ou predicado) é uma sentença contendo uma ou mais variáveis, que, ao serem substituídas por valores, viram proposições. O universo de discurso é o conjunto dos valores válidos das variáveis.

Exemplo

• \( x > 3 \) é uma sentença aberta
• \( 2 > 3 \) é uma proposição falsa, derivada da sentença aberta

Quantificador Universal

Para uma sentença aberta \( P(x) \) com variável \( x \) num universo de discurso \( \mathbb{U} \), a sentença \( \forall x \in \mathbb{U}, P(x) \) (lida: para todo x em U, P(x)) é verdadeira precisamente quando \( P(x) \) é verdadeiro qualquer que seja \( x \) em \( \mathbb{U} \). O símbolo \( \forall \) é chamado de quantificador universal.

Quantificador Existencial

A sentença \( \exists x \in \mathbb{U}, P(x) \) (lida: existe x em U tal que P(x)) é verdadeira quando existe pelo menos um \( x \) no universo de discurso \( \mathbb{U} \) tal que \( P(x) \) é verdadeiro. O símbolo \( \exists \) chamado de quantificador existencial. Quando o objeto é único, denotamos este fato pelo símbolo \( \exists ! \).

Exemplo

(1) \( \forall x \in \mathbb{R}, x^{2} \geq 0 \).

(2) \( \forall x, y \in \mathbb{Q} \) (o produto \( xy \) e a soma \( x + y \) são racionais).

(3) \( \forall x \in \mathbb{R}, (x \geq 3 \implies x^{2} \geq 9) \).

(4) \( \exists x \in \mathbb{Z}, x^{2} = 4 \).

(5) Existem dois números primos tal que sua soma é um número primo.

(6) Para cada número primo \( x \) menor que 10, \( x^{2} + 4 \) é primo.

(7) Existe alguém que não entendeu a definição de quantificador existencial.

Negação

A negação de um quantificador universal resulta num existencial e vice-versa.

Exemplo

"Todos serão reprovados em Fundamentos de Matemática \( (\forall x \in \mathbb{U}, P(x)) \) ⇝ "Existe uma pessoa que não será reprovada em Fundamentos de Matemática" \( (\exists x \in \mathbb{U}, ~P(x)) \)

Validade de Argumentos

Um arugmento com hipóteses \( P_{1} \), \( P_{2} \), ..., \( P_{n} \) e conclusão \( Q \) é dito ser válido. se sempre que \( P_{1} \), \( P_{2} \), ..., \( P_{n} \) forem verdadeiros, então \( Q \) também o for. Denotaremos um argumento por

\[ P_{1}, P_{2}, ..., P_{n} \vdash Q \]

Assim,

\[ (P_{1} \land P_{2} \land ... \land P_{n}) \implies Q \]

é uma tautologia. Caso contrário, dizemos que o argumento é inválido.

Tabela-Verdade

Nela, consideramos todas as possibilidades.

Exemplo

Verificar mediante tabela-verdade a validade do argumento seguinte: "Se Carlos está com fome, então, ele come. Carlos dorme ou não come. Carlos está acordado. Portanto, Carlos não está com fome."

Exemplo

Se o Vasco cair pra série \( B \), então seu treinador será demitido. Se seu treinador for demitido, então o astro do time, Dinamite, também sairá. Se Dinamite sair, então não mais torcerei pelo Vasco. Continuo sendo torcedor do Vasco. Logo, Dinamite não saiu do time e vasco não caiu para série B.

Exemplo

Ou matemática é difícil ou os alunos não gostam de matemática. Se o português é fácil, então a matemática é facil. Os alunos gostam de matemática. Portanto, se matemática é difícil, então português é fácil.

Exemplo

Se eu ganhar na megasena darei um carro a cada um de vocês. Eu não ganhei. Logo, vocês perderam os carros prometidos.

Regras de Inferência

O método de tabela-verdade pode ser exaustivo. Neste método, derivamos uma sequência de proposições a partir das hipóteses até atingir a conclusão. Aqui estão elas:

Conjuntos

Coleção de objetos. Um objeto membro de um conjunto é chamado de elemento.

Legenda

• Letras maiúsculas representam conjuntos
• Letras minúsculas representam elementos
• \( x \in A \) traduz para "\( x \) pertence ao conjunto \( A \)"
• \( \neg(x \in A) \equiv x \not\in A \)
• Exemplo de conjunto: \( \{1, 3, 5, 7, 9\} \)
• \( A = \{x \in \mathbb{U}: P(x)\} \) (\( x \) do conjunto universal \( \mathbb{U} \) pertence à \( A \) se \( P(x) \))
• Exemplo de declaração de conjunto: \( A = \{n \in \mathbb{Z}: n = 2k, k \in \mathbb{Z}\} \) (\( n \) do conjunto dos números naturais pertence à A se for par)

A ordem não importa, o que importa são os elementos.

Exemplo

Determine os conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{R}: x^{2} < 4\} \), \( B = \{x \in \mathbb{Z}: -2 < x < 5\} \) e \( C = \{x \in \mathbb{N}: (3x - 1)(x - 2) = 0\} \)

Resolução

Observação É importante decompor as condições. Neste exemplo, \( x^2 < 4 \implies x^2 - 4 < 0 \implies (x - 2)( x + 2) < 0 \implies x - 2 < 0 \land x + 2 > 0 \lor x - 2 > 0 \land x + 2 > 0 \implies x > 2 \land x - 2 \), o que é impossível.

Subconjunto

\[ (A \subset B) = \forall x \in \mathbb{U}, x \in A \implies x \in B \]

Nesse caso, A está contido em B. E A é um subconjunto dele mesmo. Um subconjunto é próprio se \( A \subset B \) e \( A \neq B \).

Como descobrir se \( A \subset B \)

\[ A = \{n \in \mathbb{Z}: n = 2k, k \in \mathbb{Z}\} \]

\[ B = \{m \in \mathbb{Z}: m = 6k, k \in \mathbb{Z}\} \]

\( B \subset A \), pois se \( y \in B \implies y = 6k, k \in \mathbb{Z} \implies y = 2(3k) = 2u, u \in \mathbb{Z} \), cumprindo a exigência de A.

Exemplo

Considere os conjuntos \( A = \{-4, 1, 2, 4, 10\} \), \( B = \{m \in \mathbb{Z}: |m| \leq 12\} \) e \( C = \{t \in \mathbb{Z}: t^2 + 3 \in [4, 20)\} \). Quais inclusões entre esses conjuntos é verdadeira?

Resolução

Exemplo

\[ A \subset B \land B \subset C \implies A \subset C \]

Resolução

Observação \( (A \not\subset B) \) Para provar uma afirmação da forma \( A \not\subset B \), basta encontrar um \( a \in A \), \( a \not\in B \). \( A \subset B \equiv \forall x, x \in A \implies x \in B \), então \( A \not\subset B \equiv \exists x \), \( x \in A \land x \not\in B \).

Observação \( (A = B) \) \( A = B \iff A \subset B \land B \subset A \)

Exemplo

\[ P = \{x \in \mathbb{R}: x^2 - 5x + 6 < 0\} \]

\[ Q = \{x \in \mathbb{R}: 2 < x < 3\} \]

\[ P = Q? \]

Resolução

Operações sobre Conjuntos

União

\[ A \cup B = \{x \in \mathbb{U}: x \in A \lor x \in B\} \]

Interseção

\[ A \cap B = \{x \in \mathbb{U}: x \in A \land x \in B\} \]

Subtração

\[ A - B = \{x \in \mathbb{U}: x \in A \land x \not\in B\} \]

Exemplo

Seja \( \mathbb{U} = \{1, 2, 3, ..., 12\} \), \( A = \{n \in \mathbb{U}: n = 2k, k \in \mathbb{R}\} \) e \(B = \{n \in \mathbb{U}: n \text{é primo}\} \). Então \( A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12\} \), \( A \cap B = \{2\} \) e \( A - B = \{4, 6, 8, 10, 12\} \).

Exemplo

Consideramos os intervalos da reta \( A = [1, 4) = \{x \in \mathbb{R}: 1 \leq x < 4\} \) e \( B = (2, 6] = \{x \in \mathbb{R}: 2 < x \leq 6\} \). Então \( A \cup B = [1, 6] \). \( A \cap B = (2, 4) \) e \( A - B = [1, 2] \). Além disso, \( [1, 2] \cap (2, 4) = \varnothing \) (conjunto vazio).

Álgebra de Conjuntos

Sejam \( A \), \( B \) e \( C \) subconjuntos de um conjunto universal, então:

I. Propriedades do conjunto vazio: \( A \cap \varnothing = \varnothing e A \cup \varnothing = A \)

II. Leis de Idempotência: \( A \cap A = A \) e \( A \cup A = A \)

III. Leis Comutativas: \( A \cap B = B \cap A \) e \( A \cup B = B \cup A \)

IV. Leis Associativas: \( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \) e \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \)

V. Leis Distributivas: \( A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) e \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)

Uniões e Interseções Generalizadas

Esta seção aborda operações com mais de dois conjuntos. Seja \(n \in \mathbb{N} \) e \(A_{1}, A_{2}, ..., A_{n} \) subconjuntos de \( \mathbb{U} \).

Definição

(a) A união dos conjuntos \( A_{i} \) como o conjunto

\[ \underset{i \in 1}{\overset{n}{\bigcup}} A_{i} = A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{n} = \{ x \in \mathbb{U}: x \in A_{i}, \text{para algum } i = 1, 2, ..., n\} \]

(b) A interseção dos \( A_{i} \) como o conjunto

\[ \underset{i = 1}{\overset{n}{\bigcap}} A_{i} = A_{1} \cap A_{2} \cap ... \cap A_{n} = \{x \in \mathbb{U}: x \in A_{i}, \text{para todo } i = 1, 2, ..., n\} \]

Exemplo

Consideremos a família \( A_{i} = [0, \frac{1}{i}) \), com \( i = 1, 2, ..., 5 \). Então

\[ \underset{i \in 1}{\overset{5}{\bigcup}} A_{i} = [0, 1) \]

e

\[ \underset{i = 1}{\overset{5}{\bigcap}} A_{i} = [0, \frac{1}{5}) \]

Por outro lado, se tomarmos a família \( B_{i} = [i, i + 1) \), com \( i = 1, 2, ..., 5 \). Então

\[ \underset{i \in 1}{\overset{5}{\bigcup}} B_{i} = [1, 6) \]

e

\[ \underset{i = 1}{\overset{5}{\bigcup}} B_{i} = \varnothing \]

O conjunto de índices pode ser todo o conjunto dos números naturais. No exemplo acima, teríamos então que

\[ \underset{i \in 1}{\overset{\infty}{\bigcup}} S_{n} = \underset{i \in 1}{\overset{\infty}{\bigcup}} (0, \frac{1}{n}) = (0, 1) \]

e

\[ \underset{i = 1}{\overset{\infty}{\bigcup}} S_{n} = \underset{i = 1}{\overset{\infty}{\bigcup}} (0, \frac{1}{n}) = \varnothing \]

Conjunto Potência

Consideremos o conjunto \( A = \{x, y, z\} \). Então podemos construir um conjunto cujos elementos são os subconjuntos do conjunto \( A \). Note que \( A \) possui subconjuntos com zero, um, dois ou três elementos. Assim, denotando por \( \rho(A) \), este novo conjunto, segue que

\[ \rho(A) = \{\varnothing, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\} \]

Que possui 8 elementos.

\[ \rho(A) = \{X: X \subset A \} \]

Teorema

Se \( A \) é um conjunto \( n \) de elementos, então \( \rho(A) \) é um conjunto com \( 2^{n} \) elementos.

Teorema

Sejam \( A \) e \( B \) conjuntos. Então \( A \subset B \iff \rho(A) \subset \rho(B) \).

Produto Cartesiano

Conjunto formado por pares ordenados \( (a, b) \).

Definição

Sejam \( A \) e \( B \) conjuntos. Definimos o produto cartesiano de \( A \) e \( B \) \( (A \times B) \) como o conjunto

\[ A \times B = \{(a, b): a \in A \land b \in B\} \]

onde \( (a, b) \) denota um par ordenado.

Exemplo

Sejam \( A = \{a, b, c \} \) e \( B = \{1, 2\} \). Então

\[ A \times B = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\} \]

Teorema

Sejam \( A \), \( B \), \( C \) e \( D \) conjuntos.

I. Se \( A \subset B \) e \( C \subset D \), então \( A times C \subset B \times D \)

II. \( A \times B \cup C = A \times B \cup A \times C \) e \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\)

III. \( A \cap B \times C \cap D = A \times C \cap B \times D \)

Relações

Definição

Sejam \( A \) e \( B \) conjuntos. Uma relação \( R \) entre \( A \) e \( B \) é um subconjunto de \( A \times B \). Assim, se \( (a, b) \in R \), escrevemos \( aRb \) (ou \( a ~ b \)) par aexpressar que \( a \) e \( b \) estão relacionados. O domínio de uma relação é o conjunto \( D(r) = \{x \in A : \exists y \in B \text{ tal que } xRy\} \) e a imagem da relação é o conjunto \( I(R) = \{y \in B : \exists x \in A \text{ tal que } xRy\} \).

Exemplo

Seja \( A = \{1, 2, 3\} \) e \( B = \{2, 3, 4\} \). Defina a relação \( R = \{(x, y) : x + 1 < y\} \).

Resolução

O domínio fica na esquerda e a imagem na direita.

Exemplo

(1) Sobre \( \mathbb{Z} \) consideremos a relação \( R = \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : x + y = 0\} \). Enstão \( R = \{..., (-1, 1), (1, -1), (0, 0), (2, -2), ...\} \) é o conjunto de pontos sobre a reta dada pela equação \( y = -x \) com coordenadas inteiras.

(2) Sobre o conjunto \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) considere a relação \( (m, n)R(s, r) \iff m + r = n + s \). Esta relação possui uma infinidade de elementos. Por exemplo, \( (1, 1)R(2, 2), (1, 3)R(5, 7), ...\).

(3) Seja \( E = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : \frac{x^{2}}{324} + \frac{y^{2}}{64} \leq 1\} \). O gráfico de \( E \) é constituído pelos pontos do plano que estão dentro e sobre a elipse.

(4, 5) Relações também podem ser representadas usando grafos e fluxogramas.

Definição

SE \( R \) é uma relação entre os conjuntos \( A \) e \( B \), então definimos a inversa de \( R \), denotada por \( R^{-1} \), como sendo a relação

\[ R^{-1} = \{(x, y) \in B \times A : (x, y) \in R\} \]

Exemplo

(1) No caso da relação \( R = \{(x, y) : x + 1 < y\} \) em \( A \times B \), sua inversa é dada pela relação \( R^{-1} = \{(3, 1), (4, 1), (4, 2)\} \) em \( B \times A \). Ou seja, os papéis de \( x \) e \( y \) foram trocados; enquanto em \( R \) o critério era que o segundo componente do par ordenado fosse maior que o primeiro mais uma unidade, em \( R^{-1} \) o primeiro componente é que é maior que o segundo mais uma unidade.

(2) Seja \( R \) uma relação sobre o conjunto dos números reais \( \mathbb{R} \) definida por \( xRy \iff y = x^{2} \). Determine \( R^{-1} \).

Definição

Seja \( R \) uma relação entre os conjuntos \( A \) e \( B \) e seja \( S \) uma relação entre os conjuntos \( B \) e \( C \). A composição de \( R \) e \( S \) é definida como sendo o subconjunto de \( A \times C \) dado por

\[ S \circ R = \{(a, c) \in A \times C : \exists{b} \in B \text{ tal que } (a, b) \in R \text{ e } (b, c) \in S\} \]

O domínio de \( S \circ R \) será um subconjunto do domínio da relação \( R \) e a imagem estará contida na imagem da relação \( S \). E para um elemento pertencer a composição é necessário que haja um elemento em \( B \) fazendo a conexão entre elementos de \( A \) e \( C \).

Exemplo

Consideremos os conjuntos \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), \( B = \{p, q, r, s\} \) e \( C = \{x, y, z\} \). Seja \( R = \{(1, p), (1, q), (2, q), (3, r), (4, s)\} \) uma relação entre \( A \) e \( B \), e tomemos a relação entre \( B \) e \( C \) dada por \( S = \{(p, x), (q, x), (q, y), (s, z)\} \). Então

\[ S \circ R = \{(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (4, z)\}, \]

com \( D(S \circ R) = \{1, 2, 4\} \subset D(R)\) e \( I(S \circ R) = \{x, y, z\} \subset I(S) \).

Exemplo

Se \( R \) é uma relação entre \( A \) e \( B \) e \( S \) é uma relação entre \( B \) e \( A \), então nem sempre é verdade que \( S \circ R = R \circ S \). Por exemplo, tome sobre \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) as seguintes relações

\[ R = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : y = x + 1\} \text{ e } S = \{(y, z) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : z = y^{2}\} \]

Então

\[ R \circ S = \{(y, x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x = y^{2} + 1\} \]

E

\[ S \circ R = \{(y, x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x = (y + 1)^{2}\} \]

Observamos agora que a composição de uma relação \( R \) com sua inversa \( R^{-1} \) nem sempre é a relação identidade (que associa um objeto a ele mesmo).

Teorema

Suponha \( A \), \( B \), \( C \) e \( D \) conjuntos. Sejam \( R \) uma relação entre \( A \) e \( B \), \( S \) uma relação entre \( B \) e \( C \), e \( T \) uma relação entre \( C \) e \( D \). Então, considerando que sejam válidas as composições,

(i) \( (R^{-1})^{-1} = R \) (ii) \( T \circ (S \circ R) = (T \circ S) \circ R \) (iii) \( (S \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1} \)

Relações de Equivalência

Uma relação \( R \) sobre um conjunto \( X \) é chamada relação de equivalência se as seguintes propriedades forem satisfeitas:

(1) Reflexiva: \( \forall x \in X, xRx \)

(2) Simétrica: \( \forall x, y \in X, xRy \implies yRx \)

(3) Transitiva: \( \forall x, y, z \in X, xRy \land yRz \implies xRz \)

Exemplo

Seja \( n \) um inteiro positivo fixado. Então definimos sobre \( \mathbb{Z} \) a seguinte relação: \( aRb \iff a - b = kn, k \in \mathbb{Z} \). Esta relação é chamada congruência módulo \( n \). Ao invés de escrever \( aRb \), costuma-se denotar esta relação por \( a \equiv b \pmod{n}} \). Verifiquemos que esta é uma relação de equivalência.

(1) Vale a reflexividade pois \( a \equiv a \pmod{n} \forall a \in \mathbb{Z} \) uma vez que \( a - a = 0n \)

(2) Vale a simetria pois se \( a \equiv b \pmod{n} \), então

\[ b - a = -(a - b) = -(kn) = (-k)n, \]

o que implica, por definição da relação, que \( b \equiv a \pmod{n} \)

(3) Vale a transitividade pois, \( \forall a, b, c \in \mathbb{Z}, a \equiv b \pmod{n} \land b \equiv c \pmod{n}, \exists k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Z} \) satisfazendo \( a - b = k_{1}n \land b - c = k_{2}n \). Assim,

\[ a - c = (a - b) + (b - c) = (k_{1} + k_{2})n \]

e isto implica que \( a \equiv c \pmod{n} \)

Exemplo

Definimos uma relação sobre \( \mathbb{Z} \) por: \( xRy \iff x + 3y = 2k, k \in \mathbb{Z} \). Verifiquemos que esta é uma relação de equivalência.

(1) Vale a reflexividade pois \( \forall x \in \mathbb{Z} \) temos que \( x + 3x = 4x = 2k, k \in \mathbb{Z} \).

(2) Vale a simetria pois se \( xRy \), então \( x + 3y = 2k, k \in \mathbb{Z} \). Consequentemente,

\[ y + 3x = y + 2y - 2y + x + 2x = x + 3y + 2(x - y) = 2(k + x - y) \]

nos diz que \( y + 3x \) é par. Ou seja, \( yRx \).

(3) Vale a transitividade pois, \( \forall x, y, z \in \mathbb{Z}, xRy \land yRz \), temos que \( \exists k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Z} \) satisfazendo \( x + 3y = 2k_{1} \) e \( y + 3z = 2k_{2} \). Assim,

\[ x + 3z = x + 3y - 3y + y - y + 3z = (x + 3y) + (y + 3y) + (y + 3z) - 4y = 2(k_{1} + k_{2} - y) \]

é par, e isto implica que \( xRz \) como queríamos mostrar.

Exemplo

Definimos agora a relação sobre \( R \) por: \( xRy \iff |x - y| \leq 1 \). Verifiquemos que esta não é uma relação de equivalência.

(1) Vale a reflexividade pois \( \forall x \in \mathbb{R}, |x - x| = 0 \leq 1\)

(2) Vale a simetria pois \( xRy \implies |x - y| \leq 1 \) e como \( |y - x| = |x - y| \) temos que \( yRx \)

(3) Não vale a propriedade transitiva pois, \( 5R4 \) e \( 4R3 \) porém \( |5 - 3| = 2 > 1 \)

Definição

Uma vez que temos uma relação de equivalência \( R \) sobre um conjunto \( X \), definimos a classe de equivalência de um elemento \( x \in X \), denotada por \( [x] \), como sendo o subconjunto de todos os elementos em \( X \) que estão relacionados a \( x \), isto é,

\[ [x] = \{y \in X : yRx\} \]

O conjunto de todas as classes é chamado conjunto quociente e denotado por

\[ X/R = \{[x] : x \in X\} \]

Exemplo

No caso da relação de equivalência \( x \equiv y \pmod{3} \) sobre \( \mathbb{Z} \), temos que

\[ [x] = \{x \in \mathbb{Z} : y \equiv x \pmod{3}\} & = \{y \in \mathbb{Z} : y = 3k + x, k \in \mathbb{Z}\} & = \{3k + x : x \in \mathbb{Z}\} \]

Assim, a classe de equivalência do elemento \( \ \in \mathbb{Z} \) é constituída pelos inteiros que ao serem divididos por 3 deixam resto \( x \). Logo, há somente três classes distintas:

\[ [0] = \{0, \pm 3, \pm 6, ...\} [1] = \{1,4, -2,7, -5 ...\} [2] = \{2,5, -1,8, -4, ...\} \]

correspondentes aos elementos que deixam restos 0, 1 ou 2, respectivamente. Portanto,

\[ Z/R = \{[0], [1], [2]\} \]

Exemplo

A relação \( R \) definida sobre o conjunto dos números reais \( R \) por \( xRy \iff x^{2} = y^{2} \) é uma relação de equivalência. As classes de equivalência têm a forma

\[ [x] = \{y \in \mathbb{R} : yRx\} = \{y \in : y^{2} = x^{2}\} = \{-x, x\} \]

Logo, \( \mathbb{R}/R \) possui infinitas classes de equivalência. Assim, temos as classes \( [\pi] = \{-\pi, \pi\} \) e \( [\sqrt{2} = \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} \).

Sobre o conjunto quociente \( X/R \) podemos definir uma operação de adição e uma operação de multiplicação da seguinte forma:

\[ [x] + [y] = [x + y] \]

e

\[ [x] \cdot [y] = [xy] \]

Com estas operações podemos construir o conjunto dos inteiros a partir dos números naturais da seguinte forma: defina a relação de equivalência \ ( R \) sobre \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) por \( (a, b)R(c, d) \iff a + b = b + c \).

Definição

Seja \( X \) um conjunt não-vazio e seja \( I \) um conjunto de índices. Uma partição é uma relação de subconjuntos \( \{A_{\alpha}_{\alpha \in I} \in X \) tal que:

(1) \( \forall \alpha \in I, A_{\alpha} \neq \varnothing \)

(2) \( X = \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha} \)

(3) \( \forall \alpha, \beta \in I, A_{\alpha} \cap A_{\beta} \implies A_{\alpha} = A_{\beta} \)

Exemplo

A família de intervalos \( A_{n} = [n, n + 1) \), com \( n \in \mathbb{Z} \), particiona o conjunto \( \mathbb{R} \). De fato, cada \( A_{n} \neq \varnothing, \mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} A_{n} \) e se \( A_{n} \cap A_{m} \neq \varnothing, como os intervalos \( [n, n + 1) \) e \( [m, m + 1) \) são ou iguais ou disjuntos, segue que \( A_{n} = A_{m} \).

Teorema

seja \( \{A_{\alpha}\}{\alpha \in I} \) uma pratição do conjunto \( X \). Para \( x, y \in X \) define \( xRy \iff \exists A{\alpha}, x, y \in A \). Então \( R \) é uma relação de equivalência sobre \( X \) e \( X/R = \{A_{alpha} : \alpha \in I\} \).

Relação de Ordem

Relação que compara os elementos de um conjunto e os classifica de alguma forma. Requer que a propriedade transitiva seja válida, mas não a simétrica.

Definição

Uma relação \( R \) sobre um conjunto \( X \) é dita uma relação de ordem parcial se ela é reflexiva, antissimétrica e transitiva, onde anti-simetria significa que \( \forall x, y \in X, xRy \land yRx \) temos que \( x = y \). O conjunto \( X \) é dito parcialmente ordenado.

Exemplo

A ordem padrão \( \leq \) (menor ou igual) sobre \( \mathbb{R} \) é claramente uma relação de ordem parcial sobre \( \mathbb{R} \).

Exemplo

Para o conjunto dos números naturais \( \mathbb{N} \), a relação \( R \) é definida por \( aRb \iff a|b \) é uma relação de ordem. Com efeito, a propriedade reflexiva é válida, pois \( \forall n \in \mathbb{N}, n = n \cdot 1, n|n \). A relação \( R \) também é anti-simétrica, pois \( aRb \land bRa \implies \exists m, n \in \mathbb{N}, b = am \land a = bn \). Assim, \( a = (am)n = a(mn) \). Mas isto somente é possível se \( mn = 1 \), donde concluímos que \( m = n = 1 \). Portanto, \( a = b \). Por fim, verificamos que a propriedade transitiva também é válida. \( aRb \land bRc \implies \exists m, n \in \mathbb{N}, b = am \land c = bn \). Assim, \( c = (am)n = a(mn) = ak \). Portanto, \( a \) divide \( c \) e isto implica que \( aRc \).

Exemplo

Consideremos um conjunto \( X \) e sobre seu conjunto potência \( \mathcal{P}(X) \) a relação definida por \( A \preceq B \iff A \subset B \). Uma vez que \( A \subset A \) segue que \( A \preceq A \) ( \( A \) precede ou é igual a \( A \) ) e a relação é reflexiva. Quando estudamos Conjuntos vimos que \( A \subset B \land B \subset C \implies A \subset C \). Isto é \( A \preceq B \land B \preceq C \implies A \preceq C \) e a relação é transitiva. Também do capítulo sobre conjuntos vimos que \( A \subset B \land B \subset C \implies A = B \). Logo, \( a \preceq B \land B \preceq A \implies A = B \), de modo que vale a propriedade antissimétrica. Portanto, o conjunto ( \( \mathcal{P}(X), \subset \) ) é parcialmente ordenado.

Ordem lexicográfica

Seja \( A \) um conjunto e seja \( \preceq \) uma ordem parcial sobre \( A \). Dizemos que \( (a_{1}, a_{2})R(x_{1}, x_{2}) \iff a_{1} \preceq x_{1} \lor a_{1} = x_{1} \land a_{2} \preceq x_{2} \). Mostremos que \( R \) é uma relação de ordem parcial. A propriedade reflexiva é válida, uma vez que \( \forall (x,y) \in A \) temos que \( x = x \land y \preceq y \). Logo, \( (x,y)R(x, y) \). Para verificarmos a antissimetria, suponha que \( (x_{1}, y_{2})R(x_{2}, y_{2}) \) e \( (x_{2}, y_{2})R(x_{1}, y_{1}) \). Assim, do fato que \( x_{1] \preceq x_{2} \land x_{2} \preceq x_{1} \) segue que \( x_{1} = x_{2} \) e, consequentemente, \( y_{1} \preceq y_{2} \land y_{2} \preceq y_{1} \). Portanto, \( y_{1} = y_{2} \land (x_{1}, y_{1}) = (x_{2}, y_{2}) \). Por fim, para mostrarmos a validade da propriedade transitiva, suponha que \( (x_{1}, y_{1})R(x_{2}, y_{2}) \land (x_{2}, y_{2})R(x_{3}, y_{3}) \). Temos quatro casos a considerar:

(a) se \( x_{1} \preceq x_{2} \land x_{2} \preceq x_{3} \), então, pela transitividade de \( \preceq \) temos que \( x_{1} \preceq x_{3} \). Logo, \( (x_{1}, y_{1})R(x_{3}, y_{3] \)

(b) se \( x_{1} \preceq x_{2} \land x_{2} = x_{3} \), então, \( x_{1} \preceq x_{3} \land (x_{1}, y_{1})R(x_{3}, y_{3} \)

(c) se \( x_{1} = x_{2} \land x_{2} \preceq x_{3} \), então, \( x_{1} \preceq x_{3} \land (x_{1}, y_{1})R(x_{3}, y_{3} \)

(d) se \( x_{1} = x_{2} \land x_{2} = x_{3} \), então, \( x_{1} = x_{3} \), e, desse modo, \( y_{1} \preceq y_{2} \land y_{2} \preceq y_{3} \implies y_{1} \preceq y_{3} \) \( \therefore (x_{1}, y_{1})R(x_{3}, y_{3} \)

O termo "parcial" numa relação de ordem parcial refere-se ao fato que existem elementos no conjunto que não são comparáveis. Por exemplo, no conjunto \( \mathbb{N} \) com a relação de divisibilidade os elementos 2 e 3 não estão relacionados (nem 2 divide 3, nem 3 divide 2).

Funções

Tradicionalmente, é uma regra que liga um número (argumento) a outro (valor). É usado na ciência para descrever processsos onde uma quantidade afeta outra.

Uma função \( f \) de um conjunto \( X\) em um conjunto \( Y \) é uma relação que associa cada elemento \( x \in X \) a um único elemento \( y \in Y \) que denotamos por \( y = f(x) \). Assim, uma função \( f : X \rightarrow Y \) satisfaz duas condições:

(1) \( D(f) = X \)

(2) \( (x, y) \in f \land (x, z) \in f \implies y = z \)

Aqui \( D(f) \) é dito o domínio da função \( f \) e o conjunto de \( Y \) dado por

\[ f(X) = I(f) = \{f(x): x \in X\} \]

é chamado imagem de \( f \). Designamos o conjunto \( Y \) como o contra-domínio.

Para ser uma função, todo elemento do conjunto \( X \) deve estar associado a outro do conjunto \( Y \), mas a inversa não precisa ser necessariamente verdade.

Exemplo

(1) A função \( f : A = \{1, 4, 7\} \rightarrow B = \{1, 2, 6, 7, 8, 9, 12\} \) dada por \( f(x) = x + 5 \) pode ser representada por um diagrama de flechas. Note que \( I(f) = \{6, 9, 12\} \subset B \).

(2) Muitas vezes, funções são dadas sem haver menção ao domínio. Nesse caso, o domínio é entendido como o maior subconjunto de \( \mathbb{R} \) para o qual \( f \) está definida. Por exemplo, para \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 2} \), o domínio de \( f \) é \( [0, \infty) - \{2\} = D(f) \).

Definição

Duas funções \( f : A \rightarrow B \) e \( g : C \rightarrow D \) são iguais se, e somente se, \( A = C, B = D \land \forall x \in A = C, f(x) = g(x) \).

Exemplo

Consideremos as seguintes funções \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) e \( g : \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} \) dadas por \( f(x) = x^{3} \) e \( g(x) = x^{3} \), respectivamente. Então, mesmo tendo expressões iguais, como \( \mathbb{R} \neq \mathbb{R}_{+} \), elas são diferentes.

Combinando funções

Quando o contradomínio das funções são conjuntos em que se podem fazer operações aritméticas, então podemos produzir novas funções a partir de funções dadas combinando-as. Desse modo, se \( A \) é um conjunto qualquer e \(f, g : A \rightarrow \mathbb{R} \), definimos as seguintes novas funções \( f + g \), \( f - g \), \( f \cdot g \) e \( \frac{f}{g} \) de \( A \) em \( \mathbb{R} \) através dos valores de \( f \) e \( g \) em cada \( x \in A \). Isto é

• \( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \)
• \( (f - g)(x) = f(x) - g(x) \)
• \( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \)
• \( (\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} (g(x) \neq 0) \)

Exemplo

Seja \( f(x) = x^{2} + 1 \) e \( g(x) = 2x + 1 \), temos as seguintes funções:

• \( (f + g)(x) = x^{2} + 2x + 2 \)
• \( (f - g)(x) = x^{2} - 2x \)
• \( (f \cdot g)(x) = 2x^{3} + x^{2} + 2x + 1\)
• \( (\frac{f}{g})(x) = \frac{(x^{2} + 1)}{(2x + 1)} (x \neq \frac{1}{2}) \)

Restrição

Outra maneira de a partir de uma função \( f : X \rightarrow Y \) se obter uma nova função é restringir a ação da função a um subconjunto de seu domínio ou, ao contrário, estender o domínio.

(1) se \( a \subset X \), a função \( f|_{A} : A \rightarrow Y \) definida por \( f|_{A}(a) = f(a), \forall a \in A \) é dita a restrição de \( f \) ao conjunto \( A \).

(2) se \( X \subset W \) uma função \( g: W \rightarrow B, g(x) = f(x) \forall x \in X \) é dita uma extensão de \( f \).

Exemplo

A função \( f : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x} \) cresce ilimitadamente quando nos aproximamos de \( x = 0 \), porém, sua restrição \( g : [\frac{1}{2}, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = \frac{1}{x} \) é limitada, com \( g(x) \leq 2, \forall x \in [\frac{1}{2}, \infty) \).

Exemplo

A função raiz quadrada pode ser estendida para todo o conjunto dos reais através da função \( g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = \sqrt{|x|} \).

Composição e funções inversas

Desde que cada função é uma relação e cada relação possui associado a ela sua inversa, isto é, se \( f : A \rightarrow B \) é uma relação, então a relação inversa \( f^{-1} \) é dada por

\[ f^{-1} = \{(y, x) : (x, y) \in f\} \]

diremos que \( f \) é invertível se \( f^{-1} \) é também uma função.

Exemplo

Para a função \( f = \{(x, y) : y = 2x + 1\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R} \), a inversa de \( f \) é a função

\[ f^{-1} = \{(y, x) : (x, y) \in f\} = \{(y, x) : y = 2x + 1\} = \{(y, x) : x = \frac{y - 1}{2}\} \]

Contudo, para a função \( g = \{(x, y) : y = x^{2}\} \subset \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}^{+} \), temos que a relação inversa

\[ g^{-1} = \{(y, x) : (x, y) \in g\} = \{(y, x) : y = x^{2}\} = \{(y, x) : x = \pm \sqrt{y}\} \]

não é uma função. De fato, \( (1, 1), (1, -1) \in g^{-1} \) pois \( 1^{2} = (-1)^{2} \). Porém, \( 1 \neq -1 \).

(1) Elementos distintos no domínio \( A \) devem estar associados a elementos distintos no contradomínio \( B \), ou seja, se \( x \neq y \in A \), então \( f(x) \neq f(y) \in B \). Funções que satisfazm esta propriedade são chamadas de funções injetivas.

(2) Cada elemento no contradomínio \( B \) deve ser imagem sob \( f \) de pelo menos um elemento de \( A \). Em outras palavras \( \forall y \in B, \exists x \in A, f(x) = y \), ou ainda, \( I(f) = B \). Funções que satisfazem esta propriedade são ditas funções sobrejetivas.

Desse modo, se a função \( f \) não for bijetiva: injetiva e sobrejetiva, ela não é invertível. Noutras palavras, se \( f \) é invertível, necessariamente ela é bijetiva.

Exemplo

Seja \( f : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) definida por \( f(x, y) = (-x + y, x + y) \). Se \( (x, y), (z, t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) são tais que \( f(x, y) = f(z, t) \), então

\[ (-x + y, x + y) = (-z + t, z + t) \]

Isto implica que

\[ -x + y = -z + t \implies x + y = z + t \]

Somando esssas identidades, obtemos que \( y = t \) e, consequentemente, \( x = z \). Assim, \( (x, y) = (z, t) \) e a função \( f \) é injetiva. Agora, para verificarmos se a função \( f \) é sobrejetiva, tomemos um elemento genérico \( (c, d) \) em \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) e busquemos um elemento no domínio \( (x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}, f(x, y) = (c, d) \). Por definição de \( f \), temos que \( (-x + y, x + y) = (c, d) \), donde \( -x + y = c \land x + y = d \). Somando essas equações obtemos que \( y = \frac{c + d}{2} \). Substitutindo em uma das equações acima, concluímos que \( x = \frac{d - c}{2} \). Portanto,

\[ f\left(\frac{c + d}{2}, \frac{d - c}{2}\right) = (c, d) \]

e a função \( f \) é sobrejetiva. Desse modo, \( f \) é uma função bijetiva.

Composição

Seja \( f : A \rightarrow B \) e \( g : B \rightarrow C \). A composição de \( g \) e \( f \) é a relação

\[ g \circ f = \{(x, y) : \forall y \in B, (x, y) \in f \land (y, z) \in g\} = \{(x, z) : \exists y \in B, f(x) = y \land g(y) = z\} = \{(x, z) : g(f(x)) = z\} \]

Logo, \( g \circ f : A \rightarrow C \) será definida por \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \).

Exemplo

Seja \( f(x) = sen(x) \) e \( g(x) = x^{2} + 6x \).

\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = sen(g(x)) = sen(x^{2} + 6x) \]

e

\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = sen^{2}(x) + 6sen(x) \]

Como a operação de composição de funções não é comutativa, \( f \circ g \) pode ser diferente de \( g \circ f \).

Observação Como a composição de relações é associativa e funções são relações, a composição de funções também é associativa, ou seja, \( f : A \rightarrow B, g : B \rightarrow C \land h : C \rightarrow \implies (h \circ f) \circ g = h \circ (f \circ g) \).

Definição

Se uma função \( f : A \rightarrow B \) é bijetiva, então ela é invertível.

Matemática Básica

Produtos Notáveis

Expressões algébricas fundamentais. São notáveis pela sua importância na matemática.

Legenda

• \( \therefore \) significa Logo, Portanto

Propriedades

Nas última igualdades, a propriedade distributiva é aplicada.

Quadrado

Quadrado da Soma de Dois Termos

\[ (x + y)^{2} = (x + y) \cdot (x + y) = x^{2} + 2xy + y^{2} \]

Quadrado da Diferença de Dois Termos

\[ (x - y)^{2} = (x - y) \cdot (x - y) = x^{2} - 2xy + y^{2} \]

Produto da Soma pela Diferença da Dois Termos

\[ x^2 - y^{2} = (x + y) \cdot (x - y) \]

Visualização

Esta aula serve como visualização para essas operações.

Basicamente, imagine um quadrado. Nesse quadrado, para cada lado, divida-o—com "o" referindo-se ao lado—em um comprimento \( x \) e outro \( y \). Essas divisões serão feitas sob a mesma medida em todos os lados. Ao fazer isso, percebe-se que quadrados e retângulos são formados.

• Quadrados: Um do comprimento maior, outro do menor.

• Retângulos: Lados maiores têm o comprimento do maior, lados menores o do menor.

Feitas essas observações, fica claro que a área desse polígono, por ser um quadrado, é nada mais nada menos que \( (x + y)^{2} \). Como esse quadrado é composto por dois outros menores, fazemos uma igualdade:

\[ (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} \]

Porém, isso está incorreto, pois esquecemos dos dois retângulos—adicionando-os, chegamos à equação:

\[ (x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} \]

Cubo

Cubo da Soma de Dois Termos

\[ (x + y)^{3} = (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} \]

Cubo da Diferença de Dois Termos

\[ (x - y)^{3} = (x - y) \cdot (x - y) \cdot (x - y) = x^{3} - 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3} \]

Exceções

No caso de \( a = 1 \), \( b = 0 \), essa equivalência é correta:

\[ (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} \]

Exercícios

Produtos Notáveis: Parte 1 - Aula 25

Questão 1

Sejam \( x \) e \( y \) números reais positivos, onde:

• \( x^{2} + y^{2} = 91 \)
• \( x \cdot y = 15 \)

Encontre o valor de \( x + y \).

Resolução

Questão 2

Sabendo-se que \( x + \frac{1}{x} = 5 \), calcule \(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \), onde \( x > 0 \).

Resolução

Produtos Notáveis: Parte 2 - Aula 26

Questão 1

Sejam \( a \) e \( b \) números reais, podemos afirmar que \( a^{2} + b^{2} \geq 2ab \)?

Resolução

Questão 2

Considere três números reais \( a \), \( b \) e \(c \), tal que \(a > b > c\). Podemos afirmar que \(a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + ac + bc\)?

Resolução

Produtos Notáveis: Parte 3

Questão 1

Sejam \( x \), \( y \) e \( z \) números positivos, onde \( x^{2} + y^{2} + z^{2} = 38 \) e \( xy + xz + yz = 31 \), calcule o valor de \( x + y + z \).

Resolução

Questão 2

Sabendo-se das seguintes afirmações:

• \( x \) e \( y \) são números reais
• \( x \cdot y = 9 \)
• \( x + y = 6 \)

Calcule o valor de \( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 \).

Resolução

Produtos Notáveis: Parte 4 - Aula 28

Questão 1

Calcule o valor de \( 0,651^{2} - 0,349^{2} \).

Resolução

Questão 2

Desenvolva e reduza os termos semelhantes:

\[ (x + y)^{2} + (x + y) \cdot (x - y) \]

Resolução

Questão 3

Sabendo-se as seguintes afirmações:

• \( 9x + 5y = 1 \)
• \( 9x - 5y = 3 \)

Calcule o valor de \( \frac{2^{81x^{2}}}{2^{25y^{2}}} \).

Resolução

Produtos Notáveis: Parte 5 - Aula 29

Questão 1

Desenvolva \( (x + 2)^{3} \).

Resolução

Questão 2

Seja \( x > 0 \), onde \( x + \frac{1}{x} = 4 \), calcule o valor de \( x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \).

Resolução

Questão 3

Seja \( x + y + z = 0 \), demonstre que \( x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz \).

Resolução

Produtos Notáveis Parte 1 - Aula 30

Questão 1

(35ª OBM/1ª Fase)

Na adição de temos iguais, \( 2013^{2013} + 2013^{2013} + 2013^{2013} + ... + 2013^{2013} = 2013^{2014} \), escrita de forma simplificada, foram escritos muitos sinais de adição (+). Quantos sinais foram escritos?

a) 1006 b) 2009 c) 2012 d) 2014 e) 4026

Resolução

Para simplificar, podemos deixar a igualdade com o mesmo expoente:

Questão 2

(35ª OBM/2ª Fase [Adaptada])

Sendo \( x \) e \( y \) números reais, os quais as seguintes afirmações se aplicam:

• \(x^{3} + y^{3} = 5 \cdot (x + y) \)
• \( x^{2} + y^{2} = 4 \)
• \( x + y \neq 0 \)

Determine o valor de \( x \cdot y \).

a) 4 b) 3 c) 1 d) 0 e) -1

Resolução

Resolução de exercícios: Produtos Notáveis Parte 2 - Aula 31

Questão 1

(35ª OBM)

Determine \( x + y \), onde \(x \) e \( y \) são reais, sabendo que \( x^{3} + y^{3} = 9 \) e \( x^{2}y + xy^{2} = 6 \).

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolução

Questão 2

Um possível valor de \( ^{n} \) para que \( 2^{20} + 2^{26} + 2^{n} \) seja um quadrado perfeito, é:

a) 10 b) 15 c) 30 d) 20 e) 12

Resolução

Um possível valor é \( n = 30 \).

Questão 3

A diferença dos quadrados de dois números naturais consecutivos sempre resulta num número ímpar?

Resolução

Resolução de exercícios: OBM (Olimpíada Brasileira de Matemática) - Aula 32

Questão 1

(34ª OBM)

Sendo \(a \), \( b \) e \( c \) reais, tais que:

• \( ab \cdot (a + b + c) = 1001 \)
• \( bc \cdot (a + b + c) = 2002 \)
• \( ca \cdot (a + b + c) = 3003 \)

Encontre \( abc \).

Resolução

Resolução de exercícios: Produtos Notáveis Parte 3 - Aula 33

Questão 1

Considere \( A = 1 \) e \( B = 1 \) e analize a seguinte sequência:

1. \( A^{2} - B^{2} = A - B \)
2. \( (A + b) \cdot (A - B) = A - B \)
3. \( \frac{(A + B) \cancel{\cdot (A - B)}}{\cancel{A - B}} = \cancel{\frac{A - B}{A - B}} \)
4. \( A + B = 1 \)
5. \( 1 + 1 \neq 1 \)

Qual parte contribuiu para a desigualdade no final?

Resolução

Questão 2

Considere quatro números reais \( a \), \( b \), \( c \) e \( d \).

Mostre que se \( (a + b)^{2} + (b + c)^{2} + (c + d)^{2} = 4 \cdot (ab + bc + cd) \),, então \( a = b = c = d\).

Resolução

Resolução de exercícios: Produtos Notáveis Parte 4 - Aula 34

Questão 1

Sabendo-se que \( a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 \), onde \( a \), \( b \) e \(c \) são números reais, demonstre que \( -\frac{1}{2} \leq ab + ac + bc \leq 1 \).

Resolução

Resolução de exercícios: Produtos Notáveis Parte 5 - Aula 35

Questão 1

Demonstre a igualdade \( (a^{2} + b^{2}) \cdot (c^{2} + d^{2}) = (ad - bc)^{2} + (ac + bd)^{2} \).

Resolução

Questão 2

O produto de 4 números positivos consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito?

Resolução

Plataforma Base

Questão 1

Simplificando a expressão \( (x + 10)^{2} - x \cdot (x + 20) \), encontraremos:

a) 80 b) 75 c) 100 d) 50 e) 120

Resolução

Questão 2

Realizando a simplificação da expressão algébrica \( \frac{(2x - 10) \cdot (2x + 10)}{x^{2} - 25 \), encontraremos:

a) x - 5 b) 2 c) 2x - 5 d) 4 e) \( 2x^{2} + 5 \)

Resolução

Questão 3

Simplificando a expressão \( (2x - 5) \cdot (2x + 5) - (2x - 5)^{2} \), encontramos:

a) \( 8x^{2} - 20x - 50 \) b) 20x - 50 c) 20x d) 50 e) 2x - 25

Resolução

Questão 4

Sabe-se que \( x^{2} + y^{2} = 20 \) e \( xy = 3 \). Qual o valor de \( (x + y)^{2} \)?

a) 26 b) \( 20^{2} \) c) 60 d) \( 23^{2} \) e) 23

Resolução

Questão 5

A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença entre dois números rais é igual a:

a) Ao quádruplo do produto dos números. b) A soma dos quadrados dos dois números. c) A diferença dos quadrados dos dois números. d) Ao dobro do produto dos números. e) A diferença dos dois números.

Resolução

Questão 6

Assinale a forma simplificada da expressão:

\[ \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{xy}{y + x} \cdot \frac{xy}{x - y} \]

a) 1 b) -1 c) \( \frac{(y - x)^{2}}{x^{2} - y^{2}} \) d) \( x^{2} - y^{2} \) e) \( y^{2} - x^{2} \)

Resolução

Questão 7

Sabendo-se que:

• \( a + b = 6 \)
• \( a \cdot b = 4 \)

Quanto vale \( a^{2} + b^{2} \)?

a) 28 b) 16 c) 10 d) 32 e) 36

Resolução

Questão 8

Assinale a alternativa que representa a forma mais simples da expressão:

\[ \frac{2x \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)}{x^{2} - 16} \]

a) 3 b) 2x - 8 c) \( x^{2} - 16 \) d) 2x + 8 e) 2

Resolução

Questão 9

O produto de \( ( \sqrt{4} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{4} - \sqrt{5}) \) é:

a) 1 b) 4 c) -1 d) -20 e) 20

Resolução

Questão 10

Qual é o resultado, na forma mais simples, da operação \( \frac{4x^{2}}{1 - x^{2}} - \frac{1 - x}{1 + x} + \frac{1 + x}{1 - x} \):

a) \( \frac{4x^{2}}{(1 - x)} \) b) \( \frac{4x}{(1 - x)} \) c) \( \frac{4}{(1 - x)} \) d) \( \frac{4x +1}{(1 + x)} \) e) \( \frac{4 \cdot (x + 1)}{(1 - x)} \)

Resolução

Alternativa B.

Referências Bibliográficas

GOUVEIA, Rosimar. Produtos Notáveis. Em: Toda Matéria. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/produtos-notaveis/. Acesso em: 7 mai. 2025.

Geometria Analítica

Campo da matemática que utiliza da álgebra (Álgebra Linear) para representar e resolver problemas geométricos (Geometria Euclidiana). Com isso, problemas que seriam difíceis de resolver de uma maneira puramente geométrica podem ser facilitados com álgebra e vice versa.

Referências Bibliográficas

BIX, Alan Robert; D'SOUZA, Harry Joseph. Analytic geometry. Encyclopedia Britannica, 12 abr. 2025. Disponível em: https://www.britannica.com/science/analytic-geometry. Acesso em: 16 set. 2025

Plano

Um plano é um ambiente que contém apenas duas dimensões: a vertical (cima e baixo) e a horizontal (esquerda e direita).

Tratamento Geométrico

Segmentos Orientados

Relação de Equipolência

Vetores

Operações

Adição

Subtração

Produto

Ângulo

Tratamento Algébrico

Sistema Cartesiano

Vetores

Operações

Igualdade

Oposto

Soma

Multiplicação

Cônicas

Considere duas retas concorrentes e não-perpendiculares, \( g \) e (( e \), que se intersectam em um ponto \( O \). Fazendo \( g \) girar 360 graus em torno de \( e \), obtemos dois cones.

Uma geratriz de C é uma reta obtida girando \( g \) a um ângulo \( 0 \leq \theta < 2\pi \) em torno de \( e \). Uma cônica é uma curva obtida intersectando \( C \) com um plano \( \pi \) que não passa por \( O \).

Parábola

Obtida ao cortar um cone de forma paralela à geratriz de \( C \).

Definição

Sejam \( d \) uma reta no plano e \( F \) um ponto não pertencente a \( d \). A parábola \( \mathcal{P} \) de diretriz \( d \) e foco \( F \) é o conjunto que consiste em todos os pontos \( P \) do plano, equidistantes do ponto \( F \) e da reta \( d \), isto é,

\[ \mathcal{P} = \{P; d(P, F) = d(P, d_{\text{reta}})\} \]

O eixo \( e \) da parábola é a reta que passa pelo foco \( F \) e é perpendicular a reta diretriz \( d \). O vértice \( V \) da parábola é o ponto de interseção da parábola com o eixo \( e \).

Equações Reduzidas

Parábola com vértice na origem e eixo coincidente com o eixo \( y \)

• \( F = (0, a) \)
• \( a \neq 0 \)
• \( d(V, d) = d(V, F) = |a| \)
• \( d \) é uma reta horizontal
  • \( d: y = -a \)

\( P = (x, y) \in \mathcal{P} \iff d(P, F) = d(P, d) \). A reta que passa pelo ponto \( P = (x, y) \) e é perpendicular a reta diretriz \( d \) intersecta \( d \) no ponto \( P = (x, -a) \), consequentemente,

\[ d(P, d) = d(P, P') = \sqrt{(y + a)^{2}} = |y + a| \]

\[ P = (x, y) \in \mathcal{P} \iff x^{2} = 4ay \]

Abertura

• \( a > 0 \) indica uma abertura para cima
• \( a < 0 \) indica uma abertura para baixo

Parábola com vértice na origem e eixo coincidente com o eixo \( x \)

• \( F = (0, a) \)
• \( a \neq 0 \)
• \( d(V, d) = d(V, F) = |a| \)
• \( d \) é uma reta vertical
  • \( d: x = -a \)

\( P = (x, y) \in \mathcal{P} \iff d(P, F) = d(P, d) \). A reta que passa por \( P = (x, y) \) e é perpendicular a reta diretriz \( d \) intersecta \( d \) no ponto \( P = (-a, y) \), consequentemente,

\[ d(P, d) = d(P, P') = \sqrt{(x + a)^{2}} = |x + a| \]

Abertura

• \( a > 0 \) indica uma abertura para direita
• \( a < 0 \) indica uma abertura para esquerda

Parábola com vértice em \( V = (x_{0}, y_{0}) \) e eixo paralelo ao eixo \( y \)

• \( F = (x_{0}, y_{0} + a) \)
• \( a \neq 0 \)
• \( d \) é uma reta horizontal
  • \( d: y = y_{0} - a \)
• \( e: x = x_{0} \)
• \( (x - x)^{2} = 4a(y - y_{0}) \)

Abertura

• \( a > 0 \) indica uma abertura para cima
• \( a < 0 \) indica uma abertura para baixo

Parábola com vértice \( V = (x_{0}, y_{0}) \) e eixo paralelo ao eixo \( x \)

• \( F = (x_{0} + a, y_{0}) \)
• \( a \neq 0 \)
• \( d \) é uma reta vertical
  • \( d: x = x_{0} - a \)
• \( e: y = y_{0} \)
• \( (y - y_{0})^{2} = 4a(x - x_{0}) \)

Abertura

• \( a > 0 \) indica uma abertura para direita
• \( a < 0 \) indica uma abertura para esquerda

Equação Geral

• Paralelo ao eixo \( y \): \( Ax^{2} + Cx + Dy + E = 0, A \neq 0 \)
• Paralelo ao eixo \( x \): \( By^{2} + Cx + Dy + E = 0, B \neq 0 \)

Elipse

Quando apenas um dos cones é cortado de uma forma não paralela.

Definição

Sejam \( F_{1} \) e \( F_{2} \) pontos distintos do plano. Denote \( d(F_{1}, F_{2}) = 2c > 0 \). A elipse \( \mathcal{E} \) de focos \( F_{1} \) e \( F_{2} \) é o conjunto do plano que consiste de todos os pontos \( P \), cuja soma das distâncias a \( F_{1} \) e \( F_{2} \) é igual a uma constante \( 2a > 0 \), onde \( a > c \), ou seja,

\[ \mathcal{E} = \{P; d(P, F_{1}) + d(P, F_{2}) = 2a\}, a > c \]

• Uma elipse possui dois focos, \( F_{1} e F_{2} \)
• A distância focal ( \( d(F_{1}, F_{2}) \) ) da elipse é a distância \( 2c \) entre os focos
• A reta focal é a reta \( l \) que passa pelos focos \( F_{1} \) e \( F_{2} \)
• O centro da elipse é o ponto médio \( C \) do segmento \( F_{1}F_{2} \)
• Os vértices da elipse são os pontos \( A_{1} \), \( A_{2} \), \( B_{1} \) e \( B_{2} \)
• O eixo maior é o segmento \( A_{1}A_{2} \)
• O eixo menor é o segmento \( B_{1}B_{2} \)

Observação \( d(A_{1}, C) = d(A_{2}, C) = a \) \( d(B_{1}, C) = d(B_{2}, C) = b \) \( d(F_{1}, C) = d(F_{2}, C) = c \) \( d(A_{1}, F_{1}) = d(A_{2}, F_{2}) = a - c \)

Observação O comprimento do eixo maior da elipse é igual a \( 2a \), enquando o do eixo menor é \( 2b \).

Observação \( b^{2} = a^{2} - c^{2} \)

Equação Reduzida

Elipse com centro na origem e eixo focal coincidente com o eixo \( y \)

• \( A_{1} = (0, -a) \)
• \( A_{2} = (0, a) \)
• \( B_{1} = (-b, 0) \)
• \( B_{2} = (b, 0) \)
• \( C = (0, 0) \)
• \( F_{1} = (0, -c) \)
• \( F_{2} = (0, c) \)
• \( P = (x, y) \in \mathcal{E} \iff \frac{x^{2}}{b^{2}} \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1\)

Elipse com centro na origem e eixo focal coincidente com o eixo \( x \)

• \( A_{1} = (-a, 0) \)
• \( A_{2} = (a, 0) \)
• \( B_{1} = (0, b) \)
• \( B_{2} = (0, -b) \)
• \( C = (0, 0) \)
• \( F_{1} = (-c, 0) \)
• \( F_{2} = (c, 0) \)
• \( P = (x, y) \in \mathcal{E} \iff \frac{x^{2}}{a^{2}} \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

Observação Um jeito fácil de descobrir com qual eixo o eixo focal coincide é olhando os valores dos denominadores, e lembrando que \( a > b \).

Elipse com centro \( C = (x_{0}, y_{0}) \) e eixo focal paralelo ao eixo \( y \)

• \( A_{1} = (x_{0}, y_{0} - a) \)
• \( A_{2} = (x_{0}, y_{0} + a) \)
• \( B_{1} = (x_{0} - b, y_{0}) \)
• \( B_{2} = (x_{0} + b, y_{0}) \)
• \( C = (x_{0}, x_{0}) \)
• \( F_{1} = (x_{0}, y_{0} - c) \)
• \( F_{1} = (x_{0}, y_{0} + c) \)
• \( l : x = x_{0} \)
• \( P = (x, y) \in \mathcal{E} \iff \frac{(x - x_{0})^{2}}{b^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} = 1\)

Elipse com centro \( C = (x_{0}, y_{0}) \) e eixo focal paralelo ao eixo \( x \)

• \( A_{1} = (x_{0} - a, y_{0}) \)
• \( A_{2} = (x_{0} + a, y_{0}) \)
• \( B_{1} = (x_{0}, y_{0} - b) \)
• \( B_{2} = (x_{0}, y_{0} + b) \)
• \( C = (x_{0}, x_{0}) \)
• \( F_{1} = (x_{0} - c, y_{0}) \)
• \( F_{1} = (x_{0} + c, y_{0}) \)
• \( l : y = y_{0} \)
• \( P = (x, y) \in \mathcal{E} \iff \frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1\)

Observação Para ver com que eixo o eixo focal é paralelo, basta ver o denominador da equação. Se o que tem \( x \) em cima é maior, então é paralelo com o eixo \( x \), e se o que tem \( y \) é maior, então é paralelo com \( y \).

Excentricidade

Diz o quão achatada a elipse é.

\[ e = \frac{c}{a}, (0 < e < 1) \]

Quanto mais próximo de 0 a excentricidade é, mais arredondada é a elipse.

Equação Geral

\[ Ax^{2} + By^{2} + Cx + Dy + E = 0 \]

Hipérbole

Quando o corte não é paralelo e os dois cones são cortados.

Definição

Sejam \( F_{1} \) e \( F_{2} \) pontos distintos do plano. Denote \( d(F_{1}, F_{2}) = 2c > 0 \). A hipérbole \( \mathcal{H} \) de focos \( F_{1} \) e \( F_{2} \) é o conjunto do plano que consiste de todos os pontos \( P \) tais que o módulo da diferença das distâncias a \( F_{1} \) e \( F_{2} \) é igual a uma constante \( 2a > 0 \), ou seja,

\[ \mathcal{H} = \{P; |d(P, F_{1}) - d(P, F_{2})| = 2a\} \]

Observação

Pela desigualdade triangular, obtemos que \( a < c \).

• Uma hipérbole possui dois focos, \( F_{1} e F_{2} \)
• A distância focal ( \( d(F_{1}, F_{2}) \) ) da hipérbole é a distância \( 2c \) entre os focos
• A reta focal é a reta \( l \) que passa pelos focos \( F_{1} \) e \( F_{2} \)
• O centro da hipérbole é o ponto médio \( C \) do segmento \( F_{1}F_{2} \)
• A reta imaginária é a reta \( l' \) que passa pelo centro \( C \) e é perpendicular a reta focal \( l \)
• Os vértices da hipérbole são os pontos \( A_{1} \) e \( A_{2} \) nas interseções da hipérbole com a reta focal \( f \)
• Os vértices imaginários da hipérbole são os pontos \( B_{1} \) e \( B_{2} \) sobre a reta imaginária \( l' \) tais que \( d(A_{1}, B_{1} = d(B_{1}, A_{2}) = d(A_{1}, B_{2}) = d(A_{2}, B_{2}) = c \)
• O eixo real da hipérbole é o segmento \( A_{1}A_{2} \)
• O eixo imaginário da hipérbole é o segmento \( B_{1}B_{2} \)
• A excentricidade de uma hipérbole é o número real \( e = \frac{c}{a}, (e > 1) \)

Observação \( d(A_{1}, F_{1}) = d(A_{2}, F_{2}) = c - a \) \( d(A_{1}, C) = d(A_{2}, C) = a \)

Observação O comprimento do eixo real da hipérbole é igual a \( 2a \).

Observação Pelo Teorema de Pitágoras, temos que \( d(C, B_{1}) = d(C, B_{2}) = b \) onde \( c^{2} = a^{2} + b^{2} \)

Equação Reduzida

Hipérbole com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo \( y \)

• \( A_{1} = (0, -a) \)
• \( A_{2} = (0, a) \)
• \( B_{1} = (-b, 0) \)
• \( B_{2} = (b, 0) \)
• \( C = (0, 0) \)
• \( F_{1} = (0, -c) \)
• \( F_{2} = (0, c) \)
• Equação das assíntotas: \( y = -\frac{a}{b}x \text{ e } y = \frac{a}{b}x \)
• \( P = (x, y) \in \mathcal{H} \iff \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)

Hipérbole com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo \( x \)

• \( A_{1} = (-a, 0) \)
• \( A_{2} = (a, 0) \)
• \( B_{1} = (0, -b) \)
• \( B_{2} = (0, b) \)
• \( C = (0, 0) \)
• \( F_{1} = (-c, 0) \)
• \( F_{2} = (c, 0) \)
• Equação das assíntotas: \( y = -\frac{b}{a}x \text{ e } y = \frac{b}{a}x \)
• \( P = (x, y) \in \mathcal{H} \iff \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

Hipérbole com centro em \( C = (x_{0}, y_{0}) \) e reta focal paralela ao eixo \( y \)

• \( A_{1} = (x_{0}, y_{0} - a) \)
• \( A_{2} = (x_{0}, y_{0} + a) \)
• \( B_{1} = (x_{0} - b, y_{0}) \)
• \( B_{2} = (x_{0} + b, y_{0}) \)
• \( C = (x_{0}, y_{0}) \)
• \( F_{1} = (x_{0}, y_{0} - c) \)
• \( F_{2} = (x_{0}, y_{0} + c) \)
• Equação das assíntotas: \( y = -\frac{a}{b}(x - x_{0}) + y_{0} \text{ e } y = \frac{a}{b}(x - x_{0}) + y_{0} \)
• Reta focal: \( l : x = x_{0} \)
• Reta imaginária: \( l' : y = y_{0} \)
• \( P = (x, y) \in \mathcal{H} \iff \frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(x - x_{0})^{2}}{b^{2}} = 1\)

Hipérbole com centro em \( C = (x_{0}, y_{0}) \) e reta focal paralela ao eixo \( x \)

• \( A_{1} = (x_{0} - a, y_{0}) \)
• \( A_{2} = (x_{0} + a, y_{0}) \)
• \( B_{1} = (x_{0}, y_{0} - b) \)
• \( B_{2} = (x_{0}, y_{0} + b) \)
• \( C = (x_{0}, y_{0}) \)
• \( F_{1} = (x_{0} - c, y_{0}) \)
• \( F_{2} = (x_{0} + c, y_{0}) \)
• Equação das assíntotas: \( y = -\frac{b}{a}(x - x_{0}) + y_{0} \text{ e } y = \frac{b}{a}(x - x_{0}) + y_{0} \)
• Reta focal: \( l : x = x_{0} \)
• Reta imaginária: \( l' : y = y_{0} \)
• \( P = (x, y) \in \mathcal{H} \iff \frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1\)

Equação Geral

\[ Ax^{2} + By^{2} + Cx + Dy + E = 0 \]

Sendo que \( A \) e \( B \) tem sinais contrários.

Espaço

Um espaço é um ambiente que contém três dimensões: a vertical (cima e baixo), a horizontal (esquerda e direita) e a diagonal.

Sistema Cartesiano Ortogonal

Um plano cartesiano ortogona é formado por três retas ortogonais e um ponto:

Retas e Pontos

• A reta \( x \), denominada eixo das abscissas ou eixo \( x \)
• A reta \( y \), denominada eixo das ordenadas ou eixo \( y \)
• A reta \( z \), denominada eixo das cotas ou eixo \( z \)
• O ponto \( O \), denominado origem

Planos

Associado a um sistema cartesiano ortogonal \( Oxyz \) no espaço temos os planos cartesianos

• Plano \( XY \), plano que contém os eixos \( X \) e \( Y \)
• Plano \( XZ \), plano que contém os eixos \( X \) e \( Z \)
• Plano \( YZ \), plano que contém os eixos \( Y ) e a\( Z \)

Ponto

Um ponto \( P \) qualquer do espaço é representado por um termo ordenado \( (x, y, z) \).

[ Com isso, temos que \( O = (0, 0 , 0) \]

Espaço Cartesiano

O espaço é o produto cartesianos tal que

\[ \mathbb{b}^{3} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} = {(x, y, z); x, y, z \in \mathbb{R}} \]

Vetores

• \( \vec{i} \): vetor com origem no ponto \( (0, 0) \) e extremidade no ponto \( (1, 0, 0) \)
• \( \vec{j} \): vetor com origem no ponto \( (0, 0) \) e extremidade no ponto \( (0, 1, 0) \)
• \( \vec{k} \): vetor com origem no ponto \( (0, 0) \) e extremidade no ponto \( (0, 0, 1) \)

Dado um vetor \( \vec{v} \) no espaço, existem números reais \( x \), \( y \) e \( z \) tais que

\[ \vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{zk} \]

Expressão Analítica

A representação de um vetor \( \vec{v} \) por \( \vec{v} = (x, y, z \).

Paralelismo de Vetores

\[ \vec{u} || \vec{v} \iff \vec{u} = k\vec{v}, k \in \mathbb{R} \]

Observação Com \( x_{2} \neq 0 \), \( y_{2} \neq 0 \) e \( z_{2} \neq 0 \), podemos fazer \( \vec{v} || \vec{v} \iff \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}} \)

Módulo

\[ ||\vec{v}|| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \]

Distância entre dois pontos

\[ d(A, B) = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}} \]

Exemplo

Considere o vetor \( \vec{v} = (2, -1, -3) \). Determine o vetor \( \vec{w} \) tal que \( \vec{w} || \vec{v} \), \( \vec{w} \) tem o mesmo sentido de \( \vec{v} \) e \( ||\vec{w}|| = 3||\vec{v}|| \).

Exemplo

Considere os pontos \( A = (0, 1, -1) \) e \( B = (1, 2, -1) \), e os vetores \( \vec{u} = (-2, -1, 1) \), \( \vec{v} = (3, 0, -1) \) e \( \vec{w} = (-2, 2, 2) \). Existem números \( a \), \( b \) e \( c \in \mathbb{R} \) tais que

\[ \vec{w} = a\vec{AB} + b\vec{u} + c\vec{v} \]

Produto Interno

Plano

O produto interno ou produto escalar entre dois vetores do plano \( \vec{u} = (x_{1}, y_{1}) \) e \( \vec{v} = (x_{2}, y_{2}) \), é denotado por \( \langle \vec{u}, \vec{v} \) (ou \( \vec{u} \cdot \vec{v} \)), e definido por

\[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} \]

Exemplo

Calcule o produto interno entre os vetores \( \vec{u} = (2, -5) \) e \( \vec{v} = (-1, 1) \).

Espaço

\[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2} \]

Exemplo

Calcule o produto interno entre os vetores \( \vec{u} = (1, -4, 0) \) e \( \vec{v} = (3, 1, -5) \).

Propriedades

• \( \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{v}, \vec{u} \rangle \)
• \( \langle \vec{u}, \vec{v} + \vec{w} \rangle = \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle + \langle \vec{u}, \vec{w} \rangle \text{ e } \langle \vec{u} + \vec{v}, \vec{w} \rangle = \langle \vec{u}, \vec{w} \rangle + \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle \)
• \( k \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle k\vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{u}, k\vec{v} \rangle \)
• \( \langle \vec{u}, \vec{u} \rangle = ||\vec{u}||^{2}
• \( \langle \vec{u}, \vec{u} \rangle = 0 \iff \vec{u} = 0 \)

Proposição

Sejam \( \vec{u} \neq \vec{0} \) e \( \vec{v} \neq \vec{0} \) vetores e \( \theta \in [0, \pi] \) o ângulo entre \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \). Então,

\[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \text{cos } \theta \]

Interpretação Geométrica do Produto Escalar

O produto escalar entre dois vetore não-nulos é o produto entre os seus módulos e o cosseno do ângulo entre eles.

• \( \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle > 0 \iff 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2} \)
• \( \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle < 0 \iff \frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi \)
• \( \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0 \iff \theta = \frac{\pi}{2} \)

Ortogonalidade

\[ \vec{u} \bot \vec{v} \iff \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0 \]

Exemplo

Determine o ângulo entre os vetores \( \vec{u} = (2, -1, -1) \) e \( \vec{v} = (-1, -1, 2) \).

Exemplo

Determine \( k \) para que os vetores \( \vec{u} = (-2, 3) \) e \( \vec{v} = (k, -4) \) sejam

(a) Ortogonais

(b) Paralelos

Exemplo

Calcule \( ||\vec{u} + \vec{v}|| \), \( ||\vec{u} - \vec{v}|| \) e \( \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle \) sabendo que \( ||\vec{u}|| = 4 \), \( ||\vec{v}|| = 3 \) e o ângulo entre \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) é \( \frac{\pi}{3} \).

Projeção Ortogonal

A "sombra" que um vetor faz sob uma outra reta. Por ser a "sombra" de um vetor, também é um vetor.

Sejam \( \vec{u} \) e \vec{v} \) dois vetores. A projeção ortogonal de \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) (denotada por \( Proj_{\vec{v}}^{\vec{U}} \)) é

\[ Proj_{\vec{v}}^{\vec{u}} = \frac{\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle}{||\vec{v}||^{2}} \cdot \vec{v} \]

Exemplo

Considere os vetores no plano \( \vec{v} = (1, 1) \) e \( \vec{u} = (2, 5) \). Calcule a projeção ortogonal de \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \). Decomponha \( \vec{u} \) como soma de \( \vec{u}{1} \) com \( \vec{u}{2} \), onde \( \vec{u}{1} || \vec{v} \) e \( \vec{u}{2} \bot \vec{v} \).

Produto Vetorial

Resulta num vetor.

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} x_{1} & y_{1} & z_{1} x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{vmatrix} \]

Com os vetores não tendo um valor definido. Eles apenas servem para indicar as posições (\( \vec_{i} = x \), \( \vec{j} = y \), \( \vec{k} = z \)).

Observação Para a operação fazemos \( \vec{i} (y_{1} \cdot z_{2} - y_{2} \cdot z_{1}) - \vec{j} (x_{1} \cdot z_{2} - x_{2} \cdot z_{1}) + \vec{k} (x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1}) = (a, -b, c) \).

Exemplo

Considere os vetores \( \vec{u} = (3, -1, -2) \) e \( \vec{v} = (2, 4, -1) \). Calcule \( \vec{u} \times \vec{v} \).

Operações

Assim como os vetores no plano, podemos fazer operações com os vetore no espaço.

Igualdade

\[ \vec{u} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \vec{v} = (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \vec{u} = \vec{v} \iff x_{1} = x_{2} \land y_{1} = y_{2} \land z_{1} = z_{2} \]

Oposto

\[ \vec{v} = (x, y, z) \implies -\vec{v} = (-x, -y, -z) \]

Soma

\[ \vec{u} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \vec{v} = (x_{2}, y_{2}, z_{1}) \vec{u} + \vec{v} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2}) \]

Multiplicação

\[ \vec{v} = (x, y, z) k \in R k\vec{v} = (kx, ky, kz) \]

Programação

[...] [P]rocesso de escrita, testes e manutenção de programas de computadores. Esses programas, por sua vez, são compostos por conjuntos de instruções determinados pelo programador que descrevem tarefas a serem realizadas pela máquina e atendem diversas finalidades.

— Autor Desconhecido. I Do Code. Disponível em: https://idocode.com.br/blog/programacao/o-que-e-programacao. Acesso em: 20 mai. 2025.

[Informática] Área do conhecimento que se dedica ao desenvolvimento e/ou à criação de programas de computador.

— Autor Desconhecido. Dicio. Disponível em: https://dicio.com.br/programacao. Acesso em: 20 mai. 2025.

[Sobre o verbo "programar"]

Fornecer instruções a uma máquina ou a um mecanismo para um procedimento automático (ex.: programar a máquina de lavar; programar o alarme). [Informática] Dividir o problema entregue ao computador ou ao calculador em instruções codificadas e aceitáveis pela máquina.

— Autor Desconhecido. priberam. Disponível em: https://dicionario.priberam.org/programa%C3%A7%C3%A3o. Acesso em: 20 mai. 2025.

Escrever [instruções] em uma linguagem específica que a máquina entenda [para] poder gerar essas aplicações [em referência às imagens].

— TEIXEIRA MACEDO, H. (ED.). 01Oqueprogramar, 16 feb. 2022. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=OtznOZE6-ns. Acesso em: 27 mai. 2025.

Na disciplina, acho que não chegamos a receber uma resposta do professor do que seria, mas para mim é dar instruções para executar tarefas. — SANTOS DE SOUZA, G. Notes, 16 set. 2025. Disponível em: https://gbr-ufs.github.io/notes/.

Referências Bibliográficas

TEIXEIRA MACEDO, H. PF, 23 jan. 2022. Disponível em: https://hendrikdcomp.github.io/pf/.

Programação Funcional

Paradigma de programação focado no conceito de funções, e, consequentemente, em imutabilidade e reprodutibilidade.

Fundamentos

Tópicos iniciais de programação em geral e programação funcional.

O que é programar?

Programar é um enigma. Segundo o professor Hendrik, programar é o ato de escrever instruções para uma máquina executar.

Código Fonte

Texto escrito em uma linguagem compreensível pela máquina que descreve o passo a passo (algoritmo) que deveria ser seguido para resolver um dado problema.

// Programa que diz a situação de um aluno baseado na média.
const nota1 = 7
const nota2 = 8
const nota3 = 6
const media = (nota1 + nota2 + nota3) / 3

if (media >= 7) {
    console.log('Aprovado')
} else if (media >= 4) {
    console.log('Recuperação')
} else {
    console.log('Reprovado')
}

Referências Bibliográficas

TEIXEIRA MACEDO, H. (ED.). 01Oqueprogramar, 16 feb. 2022. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=OtznOZE6-ns. Acesso em: 27 mai. 2025.

JavaScript (Netscape, 1995)

O que é?

Linguagem de programação para ser executada em navegadores para permitir comportamentos de páginas Web dinâmicos.

Principais Usos

Desenvolvimento Web, desenvolvimento mobile, desenvolvimento backend, jogos, etc...

Como funciona?

Fonte: A brief explanation of the Javascript Engine and Runtime

Parser

Identifica os elementos do código.

AST (Abstract Syntax Tree)

Valida os elementos do código semanticamente.

Interpreter

Interpreta o código linha a linha.

Profiler

Avalia o código a fim de identificar áreas onde técnicas de otimização podem ser aplicadas.

Compiler

Produz novo código de máquina otimizado para os trechos otimizados.

Programação Funcional

Prioriza o conceito matemático de funções na hora de escrever os códigos. A ideia é pensar no algoritmo como sendo uma grande e única função por uma combinação de várias outras pequenas funções, cada uma resolvendo uma parte do problema.

Organizando o pensamento computacional

Observação Essa é apenas a sugestão do professor Hendrik. Codifique da maneira que achar comfortável. Mas geralmente você vai precisar seguir esses passos.

1. Identifique o problema principal a ser tratado.
2. Identifique sub-problemas dos quais aquele depende.
3. Provenha algoritmos de solução para todos.
4. Codifique as soluções.

Ao seguir os passos 1, 2 e 3, estaremos redigindo a função principal no topo das anotaçẽos e seguindo para "baixo" escrevendo as sub-funções necessárias.

Entretanto, ao codificarmos as funções, precisamos inverter essa ordem, uma vez que o compilador precisa conhecer de antemão as funções que serão utilizadas.

Na nomenclatura do professor Hendrik, algoritmos são elaborados de cima para baixo, e em seguida o código de baixo pra cima.

Exemplo

Crie um programa que calcule a soma das áreas de duas figuras geométricas distintas: um retângulo e uma elipse.

// ...
resultado = soma(a1, a2)

// ...
const a1 = areaRet(l1, l2)
const a2 = areaEli(r1, r2)

resultado = soma(a1, a2)

// ...
const l1 = 6.1
const l2 = 4.4
const r1 = 3.0
const r2 = 5.3

const a1 = areaRet(l1, l2)
const a2 = areaEli(r1, r2)

resultado = soma(a1, a2)

function areaEli(x, y) {
    const pi = 3.1415

    return pi * x * y
}

function areaRet(x, y) {
    return x * y
}

const soma(x, y) {
    return x + y
}

const l1 = 6.1
const l2 = 4.4
const r1 = 3.0
const r2 = 5.3

const a1 = areaRet(l1, l2)
const a2 = areaEli(r1, r2)

resultado = soma(a1, a2)

console.log(resultado)

Enriquecendo sua solução

Algo importante na programação é a refatoração, o ato de reescrever código para deixá-lo conciso.

Exemplo

Retomando o exemplo anterior, poderíamos...

...fazer uso direto das funções no console:

console.log(soma(areaRet(6.1, 4.4), areaEli(3.0, 5.3)))

...fazer inicialização de parâmetros na definição da função:

function areaEli(x, y, pi=3.14) {
    return pi * x * y
}

...e omitir o argumento \( \pi \) no uso:

console.log(soma(areaRet(6.1, 4.4), areaEli(3.0, 5.3)))

...ou incluir um novo valor de \( \pi \) no uso:

console.log(soma(areaRet(6.1, 4.4), areaEli(3.0, 3.14159265)))

E poderíamos compor o texto usando backticks (várias linguagens possuem ferramentas parecidas):

const textoRet = `retângulo de lados ${l1} e ${l2}`
const textoEli = `elipse de raios ${r1} e ${r2}`
const resultado = soma(areaRet(6.1, 4.40), areaEli(3.0, 5.3))
const textoArea = `A soma das áreas de um ${textoRet} e de uma ${textoEli} é igual a ${resultado}.`
console.log(textoArea)

Valores e Funções

Como as funções se relacionam com outros tipos de valores no paradigma.

Funções como expressões

Na programação funcional, a própria definição de função pode ser vista como um valor, mais precisamente, uma expressão.

Por causa disso, funções são colocadas no mesmo nível de um valor ou expressão, as elevando ao nível de cidadão de primeira classe.

Definição de função como retorno

Uma função pode ser retornada como resultado do uso de outra função.

Com isso, podemos separar os parâmetros de uma função, para deixá-los mais modulares. Uma função que usa esse método é chamada de função parcial, pois apenas um de seus parâmetros está definido.

Exemplo

Defina funções para calcular o quadrado, o cubo e a raíz quadrada de um número passado como argumento reaproveitando uma definição de função genérica chamada expoente.

// (e) é uma função, (base) é outra função.
const expoente = (e) => (base) => base ** e
const quadrado = expoente(2) // Função parcial.
const cubo = expoente(2) // Função parcial.
const raizq = expoente(1/2) // Função parcial.

console.log(quadrado(10))
console.log(cubo(3))
console.log(raizq(81))

100
9
9

Definição de função como argumento

Se uma função é um valor comum, então ela também pode ser passada como argumento para outra função.

const subtrair = (x, y) => x - y
const somar = (x, y) => x + y
const multiplicar = (x, y) => x * y
const dividir = (x, y) => x / y
const concatenar = (x, y, sep=' ') => x + sep + y
const iniciais = (x, y) => x[0] + y[0]
const negativo = (y) => subtrair(0, y) // Função parcial.

// Função como argumento.
const exec = (f, x, y) => f(x, y) // Processo de aplicação de função padrão.

const res1 = exec(subtrair, 50, 25)
const res2 = exec(somar, 50, 25)
const res3 = exec(multiplicar, 50, 25)
const res4 = exec(dividir, 50, 25)
const res5 = exec(concatenar, 'Isaac', 'Newton')
const res6 = exec(iniciais, 'Isaac', 'Newton')
const res7 = exec(negativo, 30)

console.log(res1)
console.log(res2)
console.log(res3)
console.log(res4)
console.log(res5)
console.log(res6)
console.log(res7)

25
75
1250
2
Isaac Newton
IN
-30

Função Anônima

É quando usamos uma definição de função sem atribuir a ela qualquer nome, só no momento. Útil quando estamos interagindo com uma função que exige outra como argumento ou quando precisamos da maleabilidade de uma função.

Exemplo

Escreva um programa para calcular o maior e o menor valor real das raízes de uma equação de segundo grau. A expressão genérica para cálculo das raízes é dada por \( \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \).

const raiz = (a, b, c, f) => {
    const delta = (b * b) - (4 * a * c)
    if (delta < 0) {
        return undefined
    }
    const pos = ((-b) + Math.sqrt(delta)) / (2 * a)
    const neg = ((-b) - Math.sqrt(delta)) / (2 * a)
    // A função é aplicada aqui.
    return f(pos, neg)
}

const a = 1
const b = -5
const c = 6

// Executa a função raiz e retorna qual delas é a maior.
const maiorRaiz = raiz(a, b, c, (x, y) => (x >= y ? x : y))
// Executa a função raiz e retorna qual delas é a menor.
const menorRaiz = raiz(a, b, c, (x, y) => (x <= y ? x : y))

const texto = (x, y) => x == undefined ? 'Não há raizes reais.' : `As raizes da equação são ${x} e ${y}.`

console.log(texto(menorRaiz, maiorRaiz))

Formulação da recursividade

Muitos problemas computacionais são resolvidos repetindo-se uma mesma computação sobre coleções de dados de tamanho cada vez menor até que se chege a um ponto onde não há mais necessidade de continuar esse processo.

Em uma fórmula recursiva, cada termo é definido como uma função do seu precedente. Assim, temos que o \( n \)-ésimo termo da sequência é formado pelo \( (n - 1) \)-ésimo termo mais um step. Essa etapa é conhecida por passo indutivo da formulação.

Formalmente:

\[ a_{n} = a_{n - 1} + \text{step} \]

Esse passo se repete até chegarmos a um termo inicial que possui um valor definido e encerra essa recorrência. Esse termo é conhecido por caso base.

\[ a_{0} = \text{base} \]

Usando a notação de funções, temos:

\[ f(0) = \text{base} f(n) = f(n - 1) + \text{base} \]

Exemplo

Observe a sequência aritmética a seguir e encontre uma fórmula recursiva apropriada: \( {2, 7, 12, 17, 22, ...} \).

Programação recursiva

Na recursão, o caso base representa a solução do subproblema mais simples possível e o passo indutivo (ou caso geral) representa a solução de todas as outras situações.

Agora, iremos ver como converter essa formulação recursiva para a implementação da recursividade em JavaScript.

Nesta seção, são destacados dois padrões que devem ser lembrados, para auxiliar na solução de futuros problemas.

N-ésimo elemento de uma sequência infinita

Exemplo

Observe a sequência aritmética a seguir e crie um programa para encontrar o valor do n-ésimo elemento: \( {2, 7, 12, 17, 22, ...} \).

const f = (n) => {
    if (n == 1) {
        return 2
    } else {
        return f(n - 1) + 5
    }
}

Exemplo

N-ésimo termo da sequência \( {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...} \).

const fib = (n) => {
    if (n == 0) {
        return 0
    } else if (n == 1) {
        return 1
    } else {
        return fib(n - 1) + fib(n - 2)
    }
}

Operação formada por uma repetição de operações mais primitivas

Exemplo

Implemente o operador de exponenciação para permitir calcular a potência natural de um número \( m \) qualquer: \( m^{n} \).

Exemplo

Implemente o operador de exponenciação para permitir calcular a potência inteira de um número \( m \) qualquer: \( m^{n} \).

const pot = (m, n) => {
    // Neste caso, a função auxiliar é meio que a principal, já que a ela faz a
    // multiplicação.
    const potAux = (m, n) => {
        if (n == 0) {
            return 1
        } else {
            return m * potAux(m, n - 1)
        }
    }

    // Em contraste, a tarefa da função principal é de cuidar dos expoentes
    // negativos.
    if (n < 0) {
        return 1 / potAux(m, n * (-1))
    } else {
        return potAux(m, n)
    }
}

Exemplo

Implemente o operador de divisão a fim de encontrar o resto da divisão entre dois números inteiros positivos fornecidos, \( n \) e \( m \).

const resto = (n, m) => {
    if (n < m) {
        return n
    } else {
        return resto(n - m, m)
    }
}

Coleções de Dados

Como trabalhar com múltiplos valores usando o paradigma.

A estrutura Lista

Em JavaScript, podemos utilizar o conceito de lista de valores como forma de representação para coleções de dados.

Representação

lista = [5, 8, 10, 3, 11]

Acesso

• lista[0] (Primeiro)
• lista[1] (Segundo)
• lista[2] (Terceiro)
• ...

Tamanho

lista.length = 5

Definição de Função

const soma = (l) => l[0] + l[1] + l[2] + l[3] + l[4]

A estrutura Registro

Permite agrupar valores de diversos tipos de forma organizada

Representação

const aluno = { matricula: 20220507, nome: 'Fulano da Silva', nascimento: 2001, curso: 'Computação', mgp: 7.60, formando: true }

Acesso

• aluno.matricula = 20220507
• aluno.nome = 'Fulano da Silva'
• ...

Mapeamento de elementos

Como trabalhar com todos os elementos de uma função de forma dinâmica (não vamos saber o tamanho de uma lista toda hora..)? Existem algumas opções.

Quando uma solução planejada consituir de algum tipo de transformação de cada valor original para um novo valor, gerando uma nova lista de valores modificados, temos um caso de mapeamento.

Função map

Em JavaScript, fazemos esse mapeamento com uso de uma função pré-definida map(f) onde f é a função definida que representa a operação de transformação a ser aplicada a cada elemento.

Exemplo

Programa para aplicar um desconto de 10% em uma lista de produtos.

const desconto = (desc) => (lista) => lista.map((x) => x - x * (desc) / 100)
const desconto10 = desconto(10)
const listaProdutosR$ = [10.60, 8.50, 5.55, 6.40, 41.00, 23.05, 19.90, 15.90, 22.10, 2.75]
const resultado = desconto10(listaProdutosR$)

console.log(resultado)

Exemplo

Programa para calcular o triplo de cada elemento de uma lista.

const valores = [3, 4, -2, 0, 1, 40]
const triplo = valores.map((x) => 3 * x)

console.log(triplo)

Exemplo

Programa para extrair a inicial de cada nome de uma lista.

const nomes = ['Ana', 'Bia', 'Gui', 'Lia', 'Rafa']
const primeiraLetra = (texto) => texto[0]
const iniciais = nomes.map(primeiraLetra)

console.log(iniciais)

Exemplo

Programa para adicionar um sobrenome a cada nome de uma lista.

const nomes = ['Ana', 'Bia', 'Gui', 'Lia', 'Rafa']
const addSobrenome = (sobrenome) => (nome) => `${nome} ${sobrenome}`
const nomeCompleto = nomes.map(addSobrenome('Costa'))

console.log(nomeCompleto)

Filtragem de Elementos

Listas podem ser filtradas, retornando somente os elementos que queremos (aqueles que se encaixam a um critério definido).

Função filter

Em JavaScript, fazemos essa filtragem com uso de uma função pré-definida filter(f) onde f é a função definida que representa o critério de seleção de cada elemento,

Material de Estudos PSEL Coretech 2025

Material de estudos ofertado para a dinâmica em grupo da liga acadêmica Coretech em 2025.

Os Fundamentos da Lógica Digital

Abstração Digital

Da Física Contínua à Lógica Discreta

Sinais Analógicos

• Confiabilidade quase perfeita.
• Funções contínuas do tempo.
• Capturam a natureza do mundo físico com fidelidade.
• Suscetíveis a interferência externa.

Sinais Digitais

• Precisão infinita.
• Construídos com base em abstração.
• Operam com um conjunto finito de valores discretos.
  • O mais famoso sendo o binário.
  • Fornece imunidade a ruído (basicamente, dados irrelevantes são fácilmente bloqueados).
• Sistemas robustos e reproduzíveis.

Conversores

São eles que conectam sistemas analógicos e digitais. Um Conversor Analógico-Digital (ADC) converte um sinal analógico em formato digital mediante dois processos:

• Discretização: Amostra o sinal em intervalos de tempo discretos.
• Quantização: Mapeia a amplitude contínua de cada amostra para um valor digital finito..

Um Conversor Digital-Analógico (DAC) faz o inverso.

Sistemas Binários e Codificação da Informação

Bit

• Unidade do sistema binário.
• 0 ou 1.
• Usado principalmente para a representação de números.

BCD (Binary-Coded Decimal)

Representa cada dígito decimal (0-9) com um grupo de quatro bits.

ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

Código de 8 bits que mapeia números, letras e símbolos para valores binários, permitindo o processamento e armazenamento de texto ("ultrapassado" pelo Unicode).

Código Gray

Sistema de codificação binária onde dois valores sucessivos diferem em apenas um bit. Base para a organização do Mapa de Karnaugh, uma ferramenta de simplificação lógica.

Sistemas de Numeração e Conversão de Bases

A base de todos os sistemas de numeração modernos é a notação posicional, onde o valor de um dígito é determinado tanto pelo seu valor intrínseco quanto pela sua posição dentro do número, ponderado por uma potência de base (radix).

De Decimal para Outras Bases

Para converter a parte inteira de um número decimal para uma base \( r \), utiliza-se o método das divisões sucessivas. O número é repetidamente dividido pela nova base \( r \), e os restos são coletados. o primeiro resto é o digito menos significativo (LSB) e o último quociente é o digito mais significativo (MSB).

Exemplo: Converta o número 100 para binário.

De Outras Bases para Decimal

Utiliza-se a expansão polinomial. Cada dígito do número é multiplicado pela base \( r \) elevada à potência de sua posição (começando em 0 para o dígito mais à direita) e os resultados são somados.

Exemplo: Converta o número binário 11012 para decimal.

Atalhos entre Binário, Octal e Hexadecimal

• Binário → Octal: Os bits são agrupados em conjuntos de três, da direita para a esquerda (se tiver menos que três, o número é preenchido à esquerda por zeros). Cada número é então substituído pelo seu octal equivalente. Exemplo: Converta o número binário 1100100 para octal.

Aqui está uma tabela de conversão entre eles:

• Binário → Hexadecimal: Os bits são agrupados em conjuntos de quatro (se tiver menos que quatro, o número é preenchido à esquerda por zeros). Para descobrir o valor de um grupo, cada número dele é multiplicado por 2 elevado ao seu índice (começando por 0) da direita para a esquerda—depois, é feito a soma dos resultados. Isso é feito com todos os grupos, da direita para a esquerda. Daí a gente junta os resultados (\( 2 \circ 2 = 22 \)).

Exemplo: Converta o número binário 1100100 para hexadecimal.

Note que convertemos o número binário para decimal primeiro, e daí o convertemos para hexadecimal.

Aqui está uma tabela de conversão entre eles:

A Arítmética Binária em Hardware

Números com sinal ("sinal" se referindo a positivo ou negativo) são representados por padrão utilizando o sistema de complemento de dois.

Complemento de Dois

O complemento de dois de um número binário é calculado em um processo de dois passos: primeiro, todos os bits são invertidos (complemento de um), e em seguida, 1 é somado ao resultado. Neste sistema, o bit mais significativo (MSB) atua como indicador de sinal: 0 para números positivos e 1 para números negativos.

A Linguagem e a Otimização de Circuitos

A Linguagem dos Circuitos: Álgebra Booleana

Esse campo da matemática descreve as relações entre variaveis lógicas.

Fundamentos Axiomáticos

• Conjunto de elementos (todos os valores do campo): \( {0, 1} \).
• Operadores básicos: AND (produto lógico), OR (soma lógica) e NOT (complemento lógico).

Postulados Fundamentais

• Fechamento: O resultado de uma operação com elementos do conjunto também pertence ao conjunto.
• Elementos de Identidade: Existe um elemento de identidade para cada operação: 0 para a operação OR (\( (A + 0 = A) \)) e 1 para a operação AND (\( A \cdot 1 = A \)).
• Comutatividade: \( A + B = B + A; A \cdot B = B \cdot A \).
• Distributividade: \( A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C; A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C) \).

Teoremas

• Idempotência: \( A + A = A \).
• Absorção: \( A + A \cdot B = A \).
• Associatividade: \( (A + B) + C = A + (B + C) \).

Princípio da Dualidade

Qualquer teorema booleano válido permanece válido se os operadores AND e OR forem trocados entre si, e os elementos de identidade 0 e 1 também forem trocados.

Teoremas de De Morgan

Fornecem um método formal para negar expressões complexas e estabelecem a base matemática para a equivalência entre diferentes formas de formas lógicas.

1. O complemento de uma soma é o produto dos complementos: \( (A + B)' = A' \cdot B' \)
2. O complemento de um produto é a soma dos complementos: \( (A \cdot B)' = A' + B' \)

Formas Canônicas

Existem algumas formas de representar uma função booleana.

Tabela-Verdade

A representação mais fundamental. Lista os resultados de cada combinação possível.

Exemplo:

Mintermos e Maxtermos

Um mintermo é um termo produto (AND) que inclui todas as variáveis de entrada e que resulta em 1, Um maxtermo é um termo soma (OR) que resulta em 0 para uma única combinação de entrada.

Soma de Produtos (SOP) e Produto de Soma(POS)

Qualquer função lógica pode ser expressa de duas formas canônicas: como uma soma lógica (OR) de todos os mintermos para os quais a função é 1 (forma SOP), ou como um produto lógico (AND) de todos os maxtermos para os quais a função 0 (forma POS). É basicamente os conceitos de Forma Normal Disjuntiva e Forma Normal Conjuntiva de Fundamentos.

Portas Lógicas como Implementações Físicas

A implementação física da álgebra booleana tem como base as portas lógicas, os circuitos eletrônicos que executam as operações lógicas fundamentais.

• Portas Básicas: AND, OR e NOT (inversor).
• Portas Universais: NAND (NOT-AND) e NOR (NOT-OR). Tem esse nome pois qualquer função booleana pode ser construída usando exclusivamente elas.

Esses circuitos são implementados com transistores.

A tabela a seguir consolida os postulados e teoremas fundamentais da Álgebra Booleana.

Princípios de Minimização Lógica

Passo essencial para otimização e economia.

A Lógica da Simplificação

Implementando uma função booleana na base de SOP ou POS gera um circuito que funciona, mas muito extenso. A simplificação busca encontrar uma expressão equivalente que utilize menos recursos.

Minimização Gráfica: O Mapa de Karnaugh (K-Map)

Usado para funções com até quatro ou cinco variáveis.

Estrutura

É uma tabela-verdade reorganizada em uma grade bidimensional. A numeração das linhas e colunas segue o Código Gray, onde células adjacentes (incluindo as bordas opostas, como se o mapa estivesse enrolado) diferem em apenas um bit. Essa adjacência é a chave para a simplificação.

Agrupamento

O processo de simplificação envolve agrupar células adjacentes que contem 1s. Os grupos devem ser retangulares e conter um número de células que seja uma potência de dois (1, 2, 4, ...). O objetivo é formar os maiores grupos possíveis, cobrindo todos os 1s.

Eliminação de Variáveis

Cada grupo corresponde a um único termo produto na expressão simplificada. As variáveis que mudam de estados (aparecem com 0 e 1) em um grupo são eliminadas. Por exemplo, um grupo de duas células elimina uma variável, um grupo de quatro elimina duas, e assim por diante.

Condições "Don't Care"

Em muitos projetos, certas combinações de entrada nunca ocorrem, ou a saída é irrelevante. Podemos incluí-las em grupos de 1 para formar grupos maiores, mas é ideal cortá-las.

Blocos de Construção de Sistemas Digitais

Circuitos Lógicos Combinacionais

Circuitos combinacionais são definidos pela propriedade de que suas saídas são função exclusivamente de suas entradas atuais. Eles não possuem memória de eventos passados; para um dado conjunto de entradas, a saída será sempre a mesma.

Circuitos Aritméticos

Meio Somador (Half-Adder)

Circuito mais simples para adição, somando dois bits de entrada (\( A \) e \( B \)) para produzir uma Soma \( S \) e um "Vai-um" de saída Cout. As equações lógicas são \( S = A + B \) (XOR) e Cout = \( A \cdot B \) (AND).

Somador Completo (Full-Adder)

Adiciona três bits: \( A \), \( B \) e um "Vai-um" de entrada Cin (standard input). Permite somar números de múltiplos bits. Pode ser construído a partir de dois meio somadores e uma porta OR.

Somador de Propagação (Ripple-Carry Adder)

Para somar números de \( n \) bits, \( n \) somadores completos são conectados em cascata. O Cout (standard output) de um estágio se torna o Cin do próximo, da direita para a esquerda. Note que esse tipo de somador possui uma limitação de desempenho.

Circuitos Subtratores

Feito a partir da conversão de um somador de propagação. Para calcular \( A - B \), o operando \( B \) é invertido (formando seu complemento de um) e o Cin do primeiro somador completo é ajustado para 1. A soma resultante é \( A + B' + 1 \), que é a definição de substração usando complemento de dois.

Circuitos de Roteamento e Seleção de Dados

Multiplexador (MUX)

Atua como uma chave digital. Possui \( 2n \) entradas de dados \( n \), \( n \) linhas de seleção e uma única saída. O valor binário nas linhas de seleção determina qual das entradas de dados é conectada à saída. É um componente fundamental para selecionar entre diferentes fontes de dados, como em barramentos de dados de um processador.

Decodificador

Converte um código de entrada binário de \( n \) bits em \( 2n \) saídas únicas. Para qualquer código de entrada, apenas uma das linhas de saída é ativada. Serve para decodificar endereços de memória e instruções de CPU.

Circuitos de Codificação

Codificador (Encoder)

Realiza a operação inversa de um decodificador. Possui \( 2n \) linhas de entrada e produz um código de saída binário de \( n \) bits correspondente à única linha de entrada que está ativa.

Codificador de Prioridade

Determina os processos mais críticos aos quais o processador deveria focar.

Circuitos Lógicos Sequenciais

Introduzem o conceito de estado, onde a saída depende não apenas das entradas atuais, mas também da sequência de entradas passadas.

Latches vs. Flip-Flops: Uma Distinção Crítica

Latches (Sensíveis ao Nível)

Elementos de memória "transparentes". a saída segue sua entrada de dados enquanto o sinal de habilitação (ou clock) está em um nível ativo.

Flip-Flops (Disparados por Borda)

Blocos de construção dos sistemas síncronos. Muda seu estado armazenado apenas em uma transição específica do sinal do clock (a borda de subida, posedge, ou a borda de descida, negedge). Tem alguns tipos:

• Flip-Flop D: O mais utilizado para armazenamento de dados.
• Flip-Flop JK: Uma versão mais versátil. Pode manter o estado, setar, resetar ou alternar (toggle) seu estado.
• Flip-Flop T: Uma versão simplificada do \( JK \). Alterna seu estado a cada pulso de clock.

De um lado, os latches são mais simples—por outro, os flip-flops funcionam melhor com projetos mais complexos.

Máquinas de Estados Finitos (FSMs)

Modelo matemático e conceitual para o projeto de qualquer circuito sequencial. Existem dois modelos principais:

• Máquina de Moore: As saídas são função apenas do estado atual do sistema. Mais complexas.
• Máquina de Mealy: As saídas são função tanto do estado atual quanto das entradas atuais. Mais compactas, porém introduzem desafios de temporização em sistemas mais complexos.

De Lógica a Sistemas: Arquiteturas Embarcadas e Verilog HDL

A Arquitetura de Sistemas Embarcados

Definindo o Paradigma Embarcado

Um sistema embarcado é um sistema especializado, projetado para executar uma função dedicada como parte de um dispositivo maior.

Características

• Dedicados a uma tarefa específica
• Operam sob restrições de tempo real
• Otimizados para métricas como custo, consumo de energia e tamanho físico

O Núcleo de Processamento: MCU vs. MPU

• Microcontrolador (MCU): Integra a CPU, memória e uma variedade de periféricos em um único circuito integrado. Minimiza o tamanho, o custo e o consumo de energia do sistema, pois todas as conexões são internas. Entretanto, a quantidade de memória e o conjunto de periféricos são fixos no momento de fabricação.
• Microprocessador (MPU): Consiste principalmente na CPU. Memória e periféricos são componentes externos conectados através de um barramento, permitindo que um projetista escolha a quantidade exata de RAM, o tipo de armazenamento e os periféricos específicos necessários para a aplicação. Entretanto, isso resulta num sistema, maior, mais caro e com maior consumo de energia.

Memória e Periféricos

Hierarquia de Memória

• Memória não volátil (Flash, EEPROM): Guarda o que deveria ser permanente, como o programa a ser executado.
• Memória volátil (SRAM): Guarda o resto.

Periféricos Comuns

• GPIO (General-Purpose Input/Output): Pinos digitais para ler o estado de sensores (como botões) e controlar atuadores (como LEDs).
• Temporizadores/Contadores: Essenciais para gerar atrasos precisos, criar sinais de Modulação por Largura de Pulso (PWM) para controlar motores e medir a frequência de eventos externos.

Interfaces de Comunicação

Protocolos padronizados como UART (comunicação serial assíncrona simples), SPI e I2C (protocolos seriais síncronos para comunicação com outros chips na mesma placa).

Descrição de Hardware com Verilog HDL

A Mudança de Paradigma para HDLs

Em vez de desenho manual, usamos Linguagens de Descrição de Hardware (HDLs). Verilog e VHDL são as duas linguagens dominantes na indústria.

Fundamentos de Verilog

Módulo

Um module define um componente de hardware com uma lista de portas (entradas e saídas) e uma descrição de sua lógica interna.

Tipos de dados

• wire: Representa uma conexão física, como um fio. Não pode armazenar um valor; deve ser continuamente dirigido por algo, como a saída de uma porta lógica ou uma atribuição contínua (assign). Usado para modelar conexões em lógica combinacional.
• reg: Representa um elemento de armazenamento de dados. Retém seu valor até que um novo seja atribuido a ele em um bloco procedural (always ou initial).

Níveis de Abstração

• Estrutural (Nível de Porta): O nível mais baixo de abstração. Análoga a um diagrama esquemático.
• Fluxo de Dados (Dataflow): Descreve como os dados fluem através do circuito usando atribuições contínuas (assign) e operadores lógicos. Ideal para descrever uma lógica combinacional com base em suas equações booleanas.
• Comportamental (Behavioral): O nível mais alto de abstração. A funcionalidade do circuito é descrita algoritmicamente usando blocos procedurais como always e initial, e construções de linguagem de alto nível como if-else, case e laços (loops). Usado para descrever tanto lógica combinacional complexa quanto toda a lógica sequencial (FSMs, contadores, registradores).

O Fluxo de Projeto Digital

1. Projeto RTL (Register-Transfer Level): O projetista escreve o código Verilog em nível de abstração conhecido como RTL. Este é um estilo de codificação, principalmente comportamental e de fluxo de dados, que descreve como os dados são transferidos entre registradores e processados pela lógica combinacional. É o nível de entrada para as ferramentas de síntese.
2. Simulação Funcional (Verificação): Antes de criar o hardware físico, o projeto deve ser verificado. Um testbench — módulo Verilog separado que não é sintetizável — é escrito para instanciar o projeto (chamado de Device Under Test, ou DUT), gerar sinais de estímulo para suas entradas e verificar se as saídas correspondem ao comportamento esperado. Garante a correção lógica do projeto.
3. Síntese Lógica: Uma ferramenta de síntese de software converte o código Verilog RTL em uma netlist de nível de porta, que é uma descrição estrutural baseada em uma biblioteca de células lógicas específicas de uma tecnologia.
4. Verificação de Temporização: Após a síntese, a netlist é analisada para verificar se o circuito atenderá aos requisitos de temporização e para determinar a frequência máxima de operação.

Aplicação Prática

O Microcontrolador ATmega328P

É o cérebro do Arduino Uno. Serve como exemplo de um MCU.

Arquitetura e Núcleo

• CPU: O ATmega328P é construído em torno de um núcleo RISC (Reduced Instruction Set Computer) AVR de 8 bits.
• Arquitetura de Memória: Utiliza uma arquitetura Harvard modificada, que possui espaços de endereço e barramentos separados para a Memória de Programa (Flash) ea Memória de Dados (SRAM).

Mapa de Memória e Registradores

• Memória de Programa (Flash): Possui 32 KB de memória Flash não volátil para armazenar o código do usuário. Uma seção desta memória pode ser dedicada a um Bootloader, eliminando a necessidade de um programador de hardware externo.
• Memória de Dados (SRAM): Possui 2 KB de memória SRAM volátil. Seu mapa de memória é dividido em três seções principais:
  1. Registradores de Propósito Geral (R0-R31): Os primeiros 32 bytes são mapeados para os 32 registradores de 8 bits da CPU. São os registradores de trabalho mais rápidos, diretamente conectados à ALU.
  2. Registradores de I/O (SFRs): Os próximos 64 bytes (mais uma seção estendida) são mapeados para os Registradores de Função Especial (SFRs), que controlam todos os periféricos do chip.
  3. SRAM Interna: O restante do espaço é usado para variáveis da aplicação e para a pilha de execução.
• EEPROM: Possui 1 KB de memória de dados não volátil, ideal para armazenar dados de configuração ou calibração que precisam persistir mesmo quando a energia é desligada.

Interface com Periféricos: Os Registradores de I/O

A arquitetura de I/O mapeada em memória é o mecanismo fundamental que permite que software de alto nível controle hardware físico.

Para controlar o pinos de I/O de propósito geral (GPIO), três registradores são essenciais para cada porta:

• DDRD (Data Direction Register D): Configura a direção de cada pino da porta D. Escrever 1 em um bit o torna uma saída; escrever 0 o torna uma entrada.
• PORTD (Port D Data Register): Se um pino é configurado como saída, escrever 1 em seu bit correspondente no PORTD o leva a um nível de tensão alto, e 0 a um nível baixo. Se o pino é uma entrada, escrever 1 ativa um resistor de pull-up interno, o que é útil para conectar botões.
• PND (Port D Input Pins Register): A leitura deste registrador retorna o estado lógico atual dos pinos físicos da Porta D, independentemente de estarem configurados como entrada ou saída.

O Fluxo de Trabalho Moderno de Projeto e Verificação

Simulação com Testbenches Verilog

A arquitetura típica de um testbench inclui:

1. Instanciação do DUT: O módulo a ser testado é instanciado dentro do testbench.
2. Geração de Estímulos: Blocos initial e always são usados para gerar sianis de entrada para o DUT, como o clock, o reset e os dados de teste.
3. Verificação de Saídas: O testbench monitora as saídas do DUT e as compara com os valores esperados.

Ferramentas como ModelSim são o padrão da indústria para simulação, enquanto plataformas online como EDA Playground oferecem simuladores para aprendizado e prototipagem.

Módulos Verilog de Exemplo

Contador de 4 bits

Implementa um contador síncrono de 4 bits com um reset síncrono. Na borda de subida do clock, se o reset estiver ativo, o contador vai para zero; caso contrário, ele incrementa.

module counter_4bit (
    output reg [3:0] count,
    input wire clk,
    input wire reset
);

    always @(posedge clk or posedge reset) begin
        if (reset)
            count <= 4'b0000;

        else
            count <= count + 1;
    end
endmodule

Detector de Sequência "1011" (Moore FSM)

Traduz o diagrama de estados de uma FSM de Moore para Verilog. Usa um registrador para o estado atual (current_state) e lógica combinacional para determinar o próximo estado (next_state) com base no estado atual e na entrada. A saída depende apenas do estado atual.

module sequence_detector_moore (
    output reg detector_out,
    input wire sequence_in,
    input wire clk,
    input wire reset
);
    parameter S_IDLE = 3'b000, S_1 = 3'b001, S_10 = 3'b010, S_101 = 3'b011, S_1011 = 3'b100;
    reg [2:0] current_state, next_state;

    // Lógica sequencial para atualização do estado
    always @(posedge clk or posedge reset) begin
        if (reset)
            current_state <= S_IDLE;
        else
            current_state <= next_state;
    end

    // Lógica combinacional para transição de estado
    always @(current_state or sequence_in) begin
        case (current_state)
            S_IDLE: next_state = sequence_in? S_1 : S_IDLE;
            S_1: next_state = sequence_in? S_1 : S_10;
            S_10: next_state = sequence_in? S_101 : S_IDLE;
            S_101: next_state = sequence_in? S_1011 : S_10;
            S_1011: next_state = sequence_in? S_1 : S_IDLE;
            default: next_state = S_IDLE;
        endcase // case (current_state)
    end
    // Lógica de saída (depende apenas do estado)
    always @(current_state) begin
        if (current_state == S_1011)
            detector_out = 1'b1;
        else
            detector_out = 1'b0;
    end
endmodule

ALU Simples de 8 bits

Descreve um ALU comportamental que realiza uma de oito operações (adição, subtração, AND, OR, etc.) em duas entradas de 8 bits, com base em um código de operação (0p) de 3 bits.

module simple_alu (
    output reg [7:0] R,
    input wire [7:0] A, B,
    input wire [2:0] Op);
    always @(*) begin
        case (Op)
            3'b000: R = A + B;    // Adição
            3'b001: R = A - B;    // Subtração
            3'b010: R = A & B;    // AND
            3'b011: R = A | B;    // OR
            3'b100: R = A ^ B;    // XOR
            3'b101: R = ~A;       // NOT
            3'b110: R = ~(A & B); // NAND
            3'b111: R = ~(A | B); // NOR
            default: R = 8'h00;
        endcase // case (Op)
endmodule