Notes

\[ x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} \therefore \]

\[ (x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} \]

Como a ordem dos fatores não altera o resultado (pelo menos em operações simples como a soma):

\[ (x + y)^{2} = 91 + 30x + y = \sqrt{121} \therefore \]

\[ x + y = 11 \]

\( y \) e \( y \) são números reais e positivos, então -11 não é um resultado possível.

\[ (x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cancel{\cdot \frac{1}{x}} + \left(\frac{1}{x}\right)^{2} \therefore \]

\[ (x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} \]

O professor no vídeo recomenda nomear \( x^{2} + \frac{1}{x} \) para a equação não ficar "poluída". Farei o mesmo aqui:

\[ S = x^{2} + \frac{1}{x} \]

\[ 5^{2} = S + 2 \therefore \]

\[ S = 25 - 2 = 23 \]

Como uma potência sempre resulta num número positivo (exemplo: \( -8^{2} = 64 \)), podemos usar o zero como ponto de partida:

\[ (a \pm b)^{2} \geq 0 \]

Como isso é uma desigualdade, podemos passar o \( 2ab \) para o outro lado:

\[ a^{2} + b^{2} \geq 2ab \]

Com isso, podemos afirmar que \( a^{2} + b ^{2} \) é sim maior ou igual à \( 2ab \).

\[ (a - b)^{2} \geq 0 \therefore a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0 \therefore a^{2} + b^{2} \geq 2ab \]

\[ (a - c)^{2} \geq 0 \therefore a^{2} - 2ac + c^{2} \geq 0 \therefore a^{2} + c^{2} \geq 2ac \]

\[ (b - c)^{2} \geq 0 \therefore b^{2} - 2bc + c^{2} \geq 0 \therefore b^{2} + c^{2} \geq 2bc \]

Como uma igualdade, somando os termos de uma desigualdade, mesmo se somados, continuarão verdadeiros.

Exemplo:

\[ 5 \geq 1 \]

\[ 7 \geq 2 \]

\[ \therefore 12 \geq 3 \]

Tendo isso em vista, podemos simplesmente pegar as últimas desigualdades, viz. \( a^{2} + b^{2} \geq 2ab \), \( a^{2} + c^{2} \ge q2ac \), \(b^{2} + c^{2} \geq 2bc \), e fazer a comparação:

\[ 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} = 2ab + 2ac + 2bc \]

Cortando os 2, chegamos ao resultado:

\[ \cancel{2}a^{2} + \cancel{2}b^{2} + \cancel{2}c^{2} = \cancel{2}ab + \cancel{2}ac + \cancel{2}bc = a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + ac + bc \]

Com isso, podemos afirmar que \( a^{2} + b^{2} + c^{2} \) é sim maior que \( ab + ac + bc \).

O professor deu uma boa sugestão, para dividir em termos quando tiver três termos (com \( x + y \) sendo o "primeiro termo"):

\[ (x + y + z)^{2} = [(x + y) + z]^{2} \]

\[ (x + y)^{2} + 2 \cdot (x + y) \cdot z + z^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} + 2xz + 2yz + z^{2} \]

Arrumando a ordem, fica fácil de substituir:

\[ (x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2yz + 2xz \]

\[ (x + y + z)^{2} = 38 + 31 \cdot 2 \]

\[ (x + y + z)^{2} = 100 \therefore \]

\[ x + y + z = \sqrt{100} \]

\[ x + y + z = 10 \]

Para igualar os denominadores, o professor multiplica os numeradores pelos denominadores:

\[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = \frac{x^{2}}{xy} + \frac{y^{2}}{xy} + \frac{2xy}{xy} \]

A primeira fração foi multiplicada por \( x \), a segunda por \( y \) e a última por \( xy \) para igular.

Já sabmos o valor de \( x \cdot y \), é 9—podemos juntar tudo:

\[ \frac{x^{2} + 2xy + y^{2}}{9} = \frac{(x + y)^{2}}{9} \]

E também sabemos que \( x + y = 6 \), logo chegamos ao resultado:

\[ 6^{2} = 36 \therefore \]

\[ \frac{(x + y)^{2}}{9} = \frac{36}{9} = 4 \]

\[ 0,0651^{2} - 0,349^{2} = (0,651 + 0,349) \cdot (0,651 - 0,349) \therefore \]

\[ 0,651^{2} - 0,349^{2} = 1 \cdot 0,302 \]

\[ (x + y)^{2} + (x + y) \cdot (x - y) \]

O quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

\[ x^{2} + 2xy + y^{2} + (x + y) \cdot (x - y) \]

\[ x^{2} - y^{2} = (x + y) \cdot (x - y) \therefore \]

\[ x^{2} + 2xy + y^{2} + (x + y) \cdot (x - y) = x^{2} + 2xy + y^{2} + x^{2} - y^{2} \]

Cancelando:

\[ x^{2} + 2xy \cancel{+ y^{2}} + x^{2} \cancel{- y^{2}} = 2x^{2} 2xy \]

\[ \frac{2^{81x^{2}}}{2^{25y^{2}}} = 2^{81x^{2} - 25y^{2}} \]

\[ x^{2} - y^{2} = (x + y) \cdot (x - y) \therefore \]

\[ 2^{81x^{2} - 25y^{2}} = 2^{1 \cdot 3} = 8 \]

\[ (x + 2)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} + 2^{3} = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 \]

\[ \left(x^{3} + \frac{1}{x}\right)^{3} = x^{3} + 3x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} \]

Dá pra cancelar uns x:

\[ \left(x^{3} + \frac{1}{x}\right)^{3} = x^{3} + 3\cancel{x^{2}} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} + 3\cancel{x} \cdot \frac{1}{\cancel{x^{2}}} + \frac{1}{x^{3}} \therefore \]

\[ \left(x^{3} + \frac{1}{x}\right)^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3x + \frac{3}{x} \]

Substituindo o valor:

\[ 4^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3x + \frac{3}{x} \]

Observamos que \( 3x + \frac{3}{x} \) é simplesmente o triplo de \( x + \frac{1}{x} = 4 \), então adicionamos o valor:

\[ 4^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 12 \therefore \]

\[ x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 64 - 12 = 52 \]

\[ x + y + z = 0 \therefore \]

\[ x + y = -z \]

\[ (x + y)^{3} = (-z)^{3} \therefore \]

\[ x^{3} + 3x^{2}y + 3x^{2} + y^{3} = -z^{3} \therefore \]

\[ x^{3} + y^{3} + z^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} = 0 \]

Como \( x + y = -z \), podemos aplicar a distributiva para chegar ao valor de \(3x^{2}y + 2xy^{2} \):

\[ 3x^{2}y + 3xy^{2} = 3xy \cdot (x + y) = 3xy \cdot (-z) \therefore \]

\[ 3x^{2}y + 3xy^{2} = -3xyz \]

\[ x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = 0 \therefore \]

\[ x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = 0 \]

\[ 2013^{2014} = 2013 \cdot 2013^{2013} \]

Com isso, também notamos que, para o resultado ser 2014 nessa forma, 2013 parcelas são necessárias. Como o primeiro número não usa sinal, 2012 sinais foram escritos.

Alternativa C.

Para a primeira afirmação, aplicando as propriedades:

\[ (x + y) \cdot (x^{2} - xy + y^{2}) \]

\[ x^{3} \cancel{- x^{2}y} \cancel{+ xy^{2}} \cancel{+ x^{2}y} \cancel{- xy^{2}} + y^{3} \]

\[ x^{3} + y^{3} = (x + y) \cdot (x^{2} - xy + y ^{2}) \]

\[ x^{3} - y^{3} = (x + y) \cdot (x^{2} + xy + y ^{2}) \]

Usando a primeira afirmação:

\[ x^{3} + y^{3} = 5 \cdot (x + y) \therefore \]

\[ (x + y) \cdot (x^{2} - xy + y^{2}) = 5 \cdot (x + y) \]

Pelos números serem diferentes de zero, podemos cancelar:

\[ \cancel{(x + y) \cdot} (x^{2} - xy + y^{2}) = 5 \cancel{\cdot (x + y)} \]

Usando a segunda afirmação:

\[ 4 - xy = 5 \therefore \]

\[ xy = 1 \]

Alternativa C.

\[ (x + y)^{3} = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} \]

\[ (x + y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} \]

Usando dos valores disponibilizados:

\[ (x + y)^{3} = 9 + 18 \therefore \]

\[ x + y = \sqrt[3]{27} = 3 \]

Alternativa C.

\[ 20^{20} + 2^{26} + 2^{n} = (2^{10})^{2} + 2 \cdot (2^{10}) \cdot 2^{15} + 2^{n} \]

\[ 20^{20} + 2^{26} + 2^{30} = (2^{10})^{2} + 2 \cdot 2^{10} \cdot 2^{15} + (2^{15})^{2} = (2^{10} + 2^{15})^{2} \]

\[ (n + 1)^{2} - n^{2} = n^{2} + 2n + 1 - n^{2} \]

Cancelando:

\[ (n + 1)^{2} - n^{2} = \cancel{n^{2} +} 2n + 1 \cancel{- n^{2}} = 2n + 1 \]

Com isso, chegamos na conclusão que sim, sempre resultará num número ímpar.

Podemos multiplicar as equações pelos termos que estão faltando para chegar à uma equação que contenha \( abc \):

\[ ab \cdot (a + b + c) = 1001 \therefore \]

\[ abc \cdot (a + b + c) = 1001c \]

\[ bc \cdot (a + b + c) = 2002 \therefore \]

\[ abc \cdot (a + b + c) = 1001a \]

\[ ca \cdot (a + b + c) = 3003 \therefore \]

\[ abc \cdot (a + b + c) = 3003b \]

Como a intenção é cancelar os números à direita da igualdade, podemos os decompor até 1001:

\[ abc \cdot (a + b + c) = 2002a \therefore \]

\[ abc \cdot (a + b + c) = 2 \cdot 1001 \cdot a \]

\[ abc \cdot (a + b + c) = 3003b \therefore \]

\[ abc \cdot (a + b + c) = 3 \cdot 1001 \cdot b \]

E aí pra tudo ficar 1001 mesmo, basta passar os números que estão multiplicando para o outro lado, dividindo:

\[ abc \cdot (a + b + c) = 2 \cdot 1001 \cdot a \therefore \]

\[ \frac{abc \cdot (a + b + c)}{2} = 1001a \]

\[ abc \cdot (a + b + c) = 3 \cdot 1001 \cdot b \therefore \]

\[ \frac{abc \cdot (a + b + c)}{3} = 1001b \]

Agora, devemos somar as expressões. Devido às propriedades das frações, é necessário fazer o MMC:

\[ abc \cdot (a + b + c) + \frac{abc \cdot (a + b + c)}{2} + \frac{abc \cdot (a + b + c)}{3} = \frac{(6abc + 3abc + 2abc) \cdot (a + b + c)}{6} \]

\[ \frac{(6abc + 3abc + 2abc) \cdot (a + b + c)}{6} = \frac{11abc \cdot (a + b + c)}{6} \]

E, com o outro lado da igualdade:

\[ 1001a + 1001b + 1001c = 1001 \cdot (a + b + c) \]

Com isso, podemos cancelar:

\[ \frac{11abc \cancel{\cdot (a + b + c)}}{6} = 1001 \cancel{\cdot (a + b + c)} = \frac{11abc}{6} = 1001 \]

\[ abc = \frac{6 \cdot 1001}{11} = abc = 6 \cdot 91 \therefore abc = 546 \]

O erro está na terceira parte. Não podemos simplificar uma indeterminação—nesse caso, \( \frac{A - B}{A - B} \) (que é igual à \( \frac{0}{0} \)).

\[ a^{2} + 2ab + b^{2} + b^{2} + 2bc + c^{2} + c^{2} + 2cd + d^{2} = 4ab + 4bc + 4cd \]

\[ (a^{2} + 2ab - 4ab + b^{2}) + (b^{2} + 2bc - 4bc + c^{2}) + (c^{2} + 2cd - 4cd + d^{2}) = 0 \]

\[ (a^{2} - 2ab + b^{2}) + (b^{2} - 2bc + c^{2}) + (c^{2} - 2cd + d^{2}) = 0 \]

\[ (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - d)^{2} = 0 \]

Por serem potências, os valores são positivos ou zero. Como não dá para chegar num valor positivo, todos são zero:

\[ (a - b)^{2} \geq 0 \therefore \]

\[ a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0 \therefore \]

\[ a^{2} + b^{2} \geq 2ab \]

\[ (b - c)^{2} \geq 0 \therefore \]

\[ b^{2} + c^{2} \geq 2bc \]

\[ (a - c)^{2} \geq 0 \therefore \]

\[ a^{2} + c^{2} \geq 2ac \]

Somando as expressões:

\[ 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} = 2ab + 2bc + 2ac \]

Simplificando por 2:

\[ a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc +ac \]

Como \( a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 \), a primeira parte está completa:

\( 1 \geq ab + bc + ac \) ou \( ab + bc + ac \leq 1 \).

Agora, a segunda parte:

\[ (a + b + c)^{2} \geq 0 \therefore \]

\[ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ac \geq 0 \]

\[ 1 + 2ab + 2bc + 2ac \geq 0 \therefore \]

\[ 2ab + 2bc + 2ac \geq -1 \]

Dá para dividir tudo por 2 para igualar, chegando à segunda parte:

\[ \cancel{2}ab + \cancel{2}bc + \cancel{2}ac \geq \frac{-1}{2} \]

Juntando as duas:

\[ -\frac{1}{2} \leq ab + bc \leq 1 \]

\[ a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} = (a^{2} d^{2} - 2adbc + b^{2} c^{2}) + (a^{2} c^{2} + 2adbc + b^{2} d^{2}) \]

\[ (a^{2} c^{2} + 2adbc + b^{2} d^{2}) = (ad - bc)^{2} + (ac + bd)^{2} \]

\[ n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3) + 1 \]

Podemos multiplicar os extremos entre si:

\[ n \cdot (n + 3) = n^{2} + 3n \]

E os que estavam no meio também:

\[ (n + 1) \cdot (n + 2) = n^{2} + 2n + n + 2 \]

Então, podemos aplicar a propriedade distributiva com (n^{2} + 3n) como se fosse um único elemento:

\[ (n^{2} + 3n)^{2} + 2 \cdot (n^{2} + 3n) \cdot 1 + 1 = (n^{2} + 3n + 1)^{2} \]

\[ (x + 10)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2} \]

\[ \cancel{x^{2} \cdot 2 \cdot x \cdot 10} + 10^{2} \cancel{- x^{2} - 20x} = 100 \]

Alternativa C.

\[ x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x + 5) \cdot (x - 5) \]

Colocando em evidência o 2 no numerador:

\[ \frac{2 \cdot \cancel{(x - 5) \cdot} 2 \cancel{\cdot (x + 5)}}{\cancel{(x + 5) \cdot (x - 5)}} = 2 \cdot 2 = 4 \]

Alternativa D.

Colocando o \( (2x - 5) \) em evidência:

\[ (2x - 5) \cdot ((2x + 5) - 2x - 5)) \]

\[ (2x - 5) \cdot (\cancel{2x} + 5 \cancel{- 2x} + 5) = 10 \cdot (2x - 5) = 20x - 50 \]

Alternativa B.

A ordem dos fatores não altera o resultado:

\[ (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy \therefore \]

\[ (x + y)^{2} = 20 + 2 \cdot 3 \therefore \]

\[ (x + y)^{2} = 26 \]

Alternativa A.

\[ (a + b)^{2} - (a - b)^{2} = (a^{2} + 2ab + b^{2}) - (a^{2} - 2ab + b^{2}) \]

Removendo os parênteses (tem que converter os sinais de todos à direita!):

\[ \cancel{a^{2}} + 2ab \cancel{+ b^{2} - a^{2}} + 2ab \cancel{b^{2}} = 2ab + 2ab = 4ab \]

Alternativa A.

\[ y^{2} - x^{2} = (y - x) \cdot (y + x) \therefore \]

\[ \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{xy}{y + x} \cdot \frac{xy}{x - y} = \frac{(y - x) \cdot \cancel{(y + x)}}{\cancel{(xy)} \cancel{(xy)}} \cdot \frac{\cancel{xy}}{\cancel{y + x}} \cdot \frac{\cancel{xy}}{x - y} = \frac{(y - x)}{x - y} \]

Quando chegou nessa parte não entendi, mas segundo a correção você deve negativar:

\[ \frac{- \cancel{(x - y)}}{\cancel{x - y}} = -1 \]

Alternativa B.

\[ a + b = 6 \therefore \]

\[ (a + b)^{2} = 6^{2} \]

\[ 6^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \therefore \]

\[ a^{2} + b^{2} + 8 = 36 \therefore \]

\[ a^{2} + b^{2} = 36 - 8 \]

\[ 36 - 8 = 28 \therefore \]

\[ a^{2} + b^{2} = 28 \]

Alternativa A.

\[ (x + 4) \cdot (x - 4) = x^{2} - 4^{2} \therefore \]

\[ \frac{2x \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)}{x^{2} - 16} = \frac{2 \cdot \cancel{x^{2} - 4^{2}}}{\cancel{x^{2} - 16}} \]

Alternativa E.

\[ (\sqrt{4} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{4} - \sqrt{5} = \sqrt{4}^{2} - \sqrt{5}^{2} \]

Cancelando:

\[ \cancel{\sqrt{4}^{2}} - \cancel{\sqrt{5}^{2}} = 4 - 5 = -1 \]

Alternativa C.

\[ \frac{4\cancel{x^{2}}}{1 \cancel{- x^{2}}} - \frac{1 \cancel{- x}}{1 \cancel{+ x}} = 4 - 1 + 1 = 4 \]

\[ \frac{4\cancel{x}}{1 \cancel{- x}} = 4 \]