Assíntotas Horizontais
A reta \( y = L \) é chamada assíntota horizontal da curva \( y = f(x) \) se
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = L \text{ ou } \lim_{x \to -\infty} f(x) = L \]
Uma função pode ter mais de uma assíntota horizontal.
Postivo
Seja \( f \) uma função definida em algum intervalo, \( (a, \infty) \). Então
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = L \]
significa que os valores de \( f(x) \) ficam arbitrariamente próximos de \( L \) tomando \( x \) suficientemente grande.
Lembrando que \( \infty \) não é um número.
Negativo
Mesma coisa que o positivo, só que em vez de tomar valores arbitrariamente grandes, os valores tecnicamente seriam "arbitrariamente pequenos", por serem negativos.
Exemplo
Encontre \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \) e \( \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \).
Observe que quando \( x \) é grande, \( \frac{1}{x} \) é pequeno. Com isso, podemos fazer \( \frac{1}{x} \) tão próximo de 0 quanto quisermos. Portanto, segundo a definição, temos
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \]
E também
\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0 \]
Com isso, também temos a informação de que a reta \( y = 0 \) (o eixo \( x \) é uma assíntota horizontal de \( y = \frac{1}{x} \).
Teorema
Se \( r > 0 \) for um número racional, então
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{r}} = 0 \]
Se \( r > 0 \) for um número racional tal que \( x^{r} \) seja definida para todo \( x \), então
\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{r}} = 0 \]
Exemplo
Calcule
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2} - x - 2}{5x^{2} + 4x + 1} \]
e indique quais propriedades de limites foram usadas em cada etapa.
Para calcular o limite no infinito de uma função racional, primeiro dividimos ela pela maior potência de \( x \) que ocorre no denominador
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2} - x - 2}{5x^{2} + 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2}}}{\frac{5x^{2} + 4x + 1}{x^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{5 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{\lim_{x \to \infty} \left(3 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}\right)}{\lim_{x \to \infty} \left(5 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{\lim_{x \to \infty} 3 - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 2 \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{\lim_{x \to \infty} 5 + 4 \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} = \frac{3 - 0 - 0}{5 + 0 + 0} = \frac{3}{5} \]
Exemplo
Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
\[ f(x) = \frac{\sqrt{2x^{2} + 1}}{3x - 5} \]
Dividindo o numerador e o denominador por \( x \) temos
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2x^{2} + 1}}{3x - 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}} = \frac{\lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{\lim_{x \to \infty} \left(3 - \frac{5}{x}\right)} = \frac{\sqrt{\lim_{x \to \infty} 2 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{\lim_{x \to \infty} 3 - 5 \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - 5 \cdot 0} = \frac{\sqrt{2}}{3} \]
Portanto, a reta \( y = \frac{\sqrt{2}}{3} \) é uma assíntota horizontal do gráfico de \( f \).
No cálculo do limite quando \( x \to -\infty \), devemos lembrar que, para \( x < 0 \), temos \( \sqrt{x^{2}} = |x| = -x \). Logo, quando dividimos o numerador por \( x \), para \( x < 0 \), obtemos
\[ \frac{1}{x}\sqrt{2x^{2} + 1} = -\frac{1}{\sqrt{x^{2}}} \sqrt{2x^{2] + 1} = -\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}} \]
Logo
\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{2x^{2} + 1}}{3x - 5} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}} = \frac{-\sqrt{2 + \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2}}}}{3 - 5 \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x}} = -\frac{\sqrt{2}}{3} \]
Assim, a reta \( y = -\frac{\sqrt{2}}{3} \) é também uma assíntota horizontal.
A assíntota vertical ocorre quando a função dá numa indeterminação. Com uma função racional, podemos fazer isso facilmente ao igualar o denominador a zero. Isso é possível com \( \frac{5}{3} \)
[!TIP] Lembrando que tem que fazer dos dois lados para ter certeza!
\[ \lim_{x \to \frac{5}{3}} \frac{\sqrt{2x^{2} + 1}}{3x - 5} = \infty \]
Exemplo
Calcule \( \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} - x) \).
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado radical:
\[ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} - x) \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1} + x}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} = 0 \]
Limite da Função Exponencial Natural
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0 \]
Exemplo
Calcule \( \lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{1}{x}}.
\[ \lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to -\infty} e^{t} = 0 \]
Exemplo
Calcule \( \lim_{x \to \infty} \text{sen } x \).
Quando \( x \) cresce, os valores de \( \text{sen } x \) oscilam entre 1 e -1 um número infinito de vezes; logo, eles não tendem a qualquer número definido. Portanto, \( \lim_{X \to \infty} \text{sen } x \) não existe.
Limites Infinitos no Infinito
Exemplo
Encontre \( \lim_{x \to \infty} x^{3} \) e \( \lim_{x \to -\infty} x^{3} \).
Quando \( x \0 torna-se grande, \( x^{3} \) também fica grande. Então
\[ \lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty \]
Exemplo
Encontre \( \lim_{x \to \infty} (x^{2} - x) \).
Não podemos escrever
\[ \lim_{x \to \infty} (x^{2} - x) = \lim_{x \to \infty} x^{2} - \lim_{x \to \infty} x = \infty - \infty \]
Pois \( \infty \) não é um número. Contudo, podemos escrever
\[ \lim_{x \to \infty} (x^{2} - x) = \lim_{x \to \infty} x(x - 1) = \infty \]