O Limite de uma Função
Suponha que \( f(x) \) seja definido quando está próximo de \( a \) (\( f \) é definido num intervalo aberto com \( a \)). Então escrevemos
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]
e dizemos "o limite de \( f(x) \), quando \( x \) tende a \( a \), é igual A \( L \)" se pudermos tornar os valores de \( f(x) \) arbitrariamente próximos de \( L \), ao tornar \( x \) suficientemente próximo de \( a \) (por ambos os lados de \( a \)) mas não igual a \( a \).
Em termos matemáticos
\[ x \to a \implies \lim_{x \to a} f(x) = L \implies f(x) \to L, x \neq a \]
Exemplo
Estime o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^{2} - 1} \).
Observe que \( f(x) \) não está definida quando \( x = 1 \), mas isso não importa, pois a definição diz que devemos considerar os valores próximos, não iguais.
Pegando alguns valores próximos de 1
| \( x < 1 \) | \( f (x) \) |
|---|---|
| 0,5 | 0,666667 |
| 0,9 | 0,526316 |
| 0,99 | 0,502513 |
| 0,999 | 0,500250 |
| 0,9999 | 0,500025 |
| \( x > 1 \) | \( f (x) \) |
|---|---|
| 1,5 | 0,400000 |
| 1,1 | 0,476190 |
| 1,01 | 0,497512 |
| 1,001 | 0,499750 |
| 1,0001 | 0,499975 |
podemos concluir que
\[ \lim_{x \to 1} = \frac{x - 1}{x^{2} - 1} = 0,5 \]
Exemplo
Estime o valor de \( \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^{2} + 9} - 3}{t^{2}} \).
Divisão por zero é impossível, então \( f(t) \) não está definida quando \( t = 0 \), por isso, devemos usar aquele mesmo método de exaustão anterior.
| t | \( \frac{\sqrt{t^{2} + 9}}{t^{2}} \) |
|---|---|
| \( \pm 1,0 \) | 0,16228 |
| \( \pm 0,5 \) | 0,16553 |
| \( \pm 0,1 \) | 0,16662 |
| \( \pm 0,05 \) | 0,16666 |
| \( \pm 0,01 \) | 0,16667 |
Com a tabela acima, podemos concluir que
\[ \frac{\sqrt{t^{2} + 9}}{t^{2}} = \frac{1}{6} \]
Exemplo
Faça uma estimativa de \( \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen x}}{x} \).
Fazendo aquele mesmo esquema da tabela, notariamos que o valor de \( f(x) \) se aproxima cada vez mais de 1, e com isso podemos supor que
\[ \lim_{\theta \to 0} \frac{\text{sen \theta}}{\theta} = 1 \]
Que é o limite fundamental trigonométrico, importante de ser lembrado.
Outro limite do tipo é
\[ \lim_{\theta \to 0} \frac{\text{cos \theta} - 1}{\theta} = 0 \]
Exemplo
Analise \( \lim_{x \to 0} \text{sen} \frac{\pi}{x} \).
Tentando vários valores aqui, o resultado é zero, então podemos estimar que
\[ \lim_{x \to 0} \text{sen} \frac{\pi}{x} = 0 \]
Mas isto está errado, demonstrando que não podemos só tentar advinhando, precisamos de ferramentas reais para descobrir os limites.