Conjuntos
Coleção de objetos. Um objeto membro de um conjunto é chamado de elemento.
Legenda
- Letras maiúsculas representam conjuntos
- Letras minúsculas representam elementos
- \( x \in A \) traduz para "\( x \) pertence ao conjunto \( A \)"
- \( \neg(x \in A) \equiv x \not\in A \)
- Exemplo de conjunto: \( \{1, 3, 5, 7, 9\} \)
- \( A = \{x \in \mathbb{U}: P(x)\} \) (\( x \) do conjunto universal \( \mathbb{U} \) pertence à \( A \) se \( P(x) \))
- Exemplo de declaração de conjunto: \( A = \{n \in \mathbb{Z}: n = 2k, k \in \mathbb{Z}\} \) (\( n \) do conjunto dos números naturais pertence à A se for par)
A ordem não importa, o que importa são os elementos.
Exemplo
Determine os conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{R}: x^{2} < 4\} \), \( B = \{x \in \mathbb{Z}: -2 < x < 5\} \) e \( C = \{x \in \mathbb{N}: (3x - 1)(x - 2) = 0\} \)
Resolução
\[ A = (-2, 2) \]
\[ B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} \]
\[ C = \{2\} \]
Observação É importante decompor as condições. Neste exemplo, \( x^2 < 4 \implies x^2 - 4 < 0 \implies (x - 2)( x + 2) < 0 \implies x - 2 < 0 \land x + 2 > 0 \lor x - 2 > 0 \land x + 2 > 0 \implies x > 2 \land x - 2 \), o que é impossível.
Subconjunto
\[ (A \subset B) = \forall x \in \mathbb{U}, x \in A \implies x \in B \]
Nesse caso, A está contido em B. E A é um subconjunto dele mesmo. Um subconjunto é próprio se \( A \subset B \) e \( A \neq B \).
Como descobrir se \( A \subset B \)
\[ A = \{n \in \mathbb{Z}: n = 2k, k \in \mathbb{Z}\} \]
\[ B = \{m \in \mathbb{Z}: m = 6k, k \in \mathbb{Z}\} \]
\( B \subset A \), pois se \( y \in B \implies y = 6k, k \in \mathbb{Z} \implies y = 2(3k) = 2u, u \in \mathbb{Z} \), cumprindo a exigência de A.
Exemplo
Considere os conjuntos \( A = \{-4, 1, 2, 4, 10\} \), \( B = \{m \in \mathbb{Z}: |m| \leq 12\} \) e \( C = \{t \in \mathbb{Z}: t^2 + 3 \in [4, 20)\} \). Quais inclusões entre esses conjuntos é verdadeira?
Resolução
\[ B = \{-12, -11, -10, ..., 10, 11, 12\} \]
Desse modo, temos que \( A \subset B \). Para \( C \), como \( t \) está elevado ao quadrado, se determinarmos os elementos positivos em C, os negativos também estarão. Assim, \( 4 \leq t^{3} + 3 < 20 \implies \) \(1 \leq t^2 < 17 \implies 1 \leq t < \sqrt{17} \). Logo, \( C = \{-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4\} \), \( C \subset B \), \( (10 \in A \land 10 \not\in C) \implies A \not\in C \).
Exemplo
\[ A \subset B \land B \subset C \implies A \subset C \]
Resolução
Se \( A \subset B \) e \( B \subset C \), então \( \forall a, a \in A \implies a \in B \land \forall b, b \in B \implies b \in C \). Portanto, \( \forall x, x \in A \implies x \in B \implies x \in C \equiv A \subset C \).
Observação \( (A \not\subset B) \) Para provar uma afirmação da forma \( A \not\subset B \), basta encontrar um \( a \in A \), \( a \not\in B \). \( A \subset B \equiv \forall x, x \in A \implies x \in B \), então \( A \not\subset B \equiv \exists x \), \( x \in A \land x \not\in B \).
Observação \( (A = B) \) \( A = B \iff A \subset B \land B \subset A \)
Exemplo
\[ P = \{x \in \mathbb{R}: x^2 - 5x + 6 < 0\} \]
\[ Q = \{x \in \mathbb{R}: 2 < x < 3\} \]
\[ P = Q? \]
Resolução
Seja \( y \in P \). \( y \in P \implies y^2 - 5y + 6 < 0 \equiv (y - 2)(y - 3) < 0 \). Temos dois casos possíveis:
I. \( y - 2 < 0 \land y - 3 > 0 \)
II. \( y - 2 > 0 \land y - 3 < 0 \)
Em I, temos que \( y < 2 \) e \( y > 3 \), o que é um absurdo. Em II, \( 2 < y < 3 \iff y \in \mathbb{Q} \). Com isso, seria necessário que \( \mathbb{Q} \subset P \). Seja \( z \in \mathbb{Q} \). Então \( 2 < z < 3 \) e daí \( y - 2 > 0 \land y - 3 < 0 \). Logo,\( (y - 2)(y - 3) < 0 \) e, consequentemente, \( z^{2} - 5z + 6 < 0 \). Portanto, \( z \in P \).
Operações sobre Conjuntos
União
\[ A \cup B = \{x \in \mathbb{U}: x \in A \lor x \in B\} \]
Interseção
\[ A \cap B = \{x \in \mathbb{U}: x \in A \land x \in B\} \]
Subtração
\[ A - B = \{x \in \mathbb{U}: x \in A \land x \not\in B\} \]
Exemplo
Seja \( \mathbb{U} = \{1, 2, 3, ..., 12\} \), \( A = \{n \in \mathbb{U}: n = 2k, k \in \mathbb{R}\} \) e \(B = \{n \in \mathbb{U}: n \text{é primo}\} \). Então \( A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12\} \), \( A \cap B = \{2\} \) e \( A - B = \{4, 6, 8, 10, 12\} \).
Exemplo
Consideramos os intervalos da reta \( A = [1, 4) = \{x \in \mathbb{R}: 1 \leq x < 4\} \) e \( B = (2, 6] = \{x \in \mathbb{R}: 2 < x \leq 6\} \). Então \( A \cup B = [1, 6] \). \( A \cap B = (2, 4) \) e \( A - B = [1, 2] \). Além disso, \( [1, 2] \cap (2, 4) = \varnothing \) (conjunto vazio).
Álgebra de Conjuntos
Sejam \( A \), \( B \) e \( C \) subconjuntos de um conjunto universal, então:
I. Propriedades do conjunto vazio: \( A \cap \varnothing = \varnothing e A \cup \varnothing = A \)
II. Leis de Idempotência: \( A \cap A = A \) e \( A \cup A = A \)
III. Leis Comutativas: \( A \cap B = B \cap A \) e \( A \cup B = B \cup A \)
IV. Leis Associativas: \( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \) e \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \)
V. Leis Distributivas: \( A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) e \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
Uniões e Interseções Generalizadas
Esta seção aborda operações com mais de dois conjuntos. Seja \(n \in \mathbb{N} \) e \(A_{1}, A_{2}, ..., A_{n} \) subconjuntos de \( \mathbb{U} \).
Definição
(a) A união dos conjuntos \( A_{i} \) como o conjunto
\[ \underset{i \in 1}{\overset{n}{\bigcup}} A_{i} = A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{n} = \{ x \in \mathbb{U}: x \in A_{i}, \text{para algum } i = 1, 2, ..., n\} \]
(b) A interseção dos \( A_{i} \) como o conjunto
\[ \underset{i = 1}{\overset{n}{\bigcap}} A_{i} = A_{1} \cap A_{2} \cap ... \cap A_{n} = \{x \in \mathbb{U}: x \in A_{i}, \text{para todo } i = 1, 2, ..., n\} \]
Exemplo
Consideremos a família \( A_{i} = [0, \frac{1}{i}) \), com \( i = 1, 2, ..., 5 \). Então
\[ \underset{i \in 1}{\overset{5}{\bigcup}} A_{i} = [0, 1) \]
e
\[ \underset{i = 1}{\overset{5}{\bigcap}} A_{i} = [0, \frac{1}{5}) \]
Por outro lado, se tomarmos a família \( B_{i} = [i, i + 1) \), com \( i = 1, 2, ..., 5 \). Então
\[ \underset{i \in 1}{\overset{5}{\bigcup}} B_{i} = [1, 6) \]
e
\[ \underset{i = 1}{\overset{5}{\bigcup}} B_{i} = \varnothing \]
O conjunto de índices pode ser todo o conjunto dos números naturais. No exemplo acima, teríamos então que
\[ \underset{i \in 1}{\overset{\infty}{\bigcup}} S_{n} = \underset{i \in 1}{\overset{\infty}{\bigcup}} (0, \frac{1}{n}) = (0, 1) \]
e
\[ \underset{i = 1}{\overset{\infty}{\bigcup}} S_{n} = \underset{i = 1}{\overset{\infty}{\bigcup}} (0, \frac{1}{n}) = \varnothing \]
Conjunto Potência
Consideremos o conjunto \( A = \{x, y, z\} \). Então podemos construir um conjunto cujos elementos são os subconjuntos do conjunto \( A \). Note que \( A \) possui subconjuntos com zero, um, dois ou três elementos. Assim, denotando por \( \rho(A) \), este novo conjunto, segue que
\[ \rho(A) = \{\varnothing, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\} \]
Que possui 8 elementos.
\[ \rho(A) = \{X: X \subset A \} \]
Teorema
Se \( A \) é um conjunto \( n \) de elementos, então \( \rho(A) \) é um conjunto com \( 2^{n} \) elementos.
Teorema
Sejam \( A \) e \( B \) conjuntos. Então \( A \subset B \iff \rho(A) \subset \rho(B) \).
Produto Cartesiano
Conjunto formado por pares ordenados \( (a, b) \).
Definição
Sejam \( A \) e \( B \) conjuntos. Definimos o produto cartesiano de \( A \) e \( B \) \( (A \times B) \) como o conjunto
\[ A \times B = \{(a, b): a \in A \land b \in B\} \]
onde \( (a, b) \) denota um par ordenado.
Exemplo
Sejam \( A = \{a, b, c \} \) e \( B = \{1, 2\} \). Então
\[ A \times B = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\} \]
Teorema
Sejam \( A \), \( B \), \( C \) e \( D \) conjuntos.
I. Se \( A \subset B \) e \( C \subset D \), então \( A times C \subset B \times D \)
II. \( A \times B \cup C = A \times B \cup A \times C \) e \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\)
III. \( A \cap B \times C \cap D = A \times C \cap B \times D \)