Vetores

$ \vec{i} $: vetor com origem no ponto $ (0, 0) $ e extremidade no ponto $ (1, 0, 0) $
$ \vec{j} $: vetor com origem no ponto $ (0, 0) $ e extremidade no ponto $ (0, 1, 0) $
$ \vec{k} $: vetor com origem no ponto $ (0, 0) $ e extremidade no ponto $ (0, 0, 1) $

Dado um vetor $ \vec{v} $ no espaço, existem números reais $ x $, $ y $ e $ z $ tais que

\[ \vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{zk} \]

Expressão Analítica

A representação de um vetor $ \vec{v} $ por $ \vec{v} = (x, y, z $.

Paralelismo de Vetores

\[ \vec{u} || \vec{v} \iff \vec{u} = k\vec{v}, k \in \mathbb{R} \]

Observação Com $ x_{2} \neq 0 $, $ y_{2} \neq 0 $ e $ z_{2} \neq 0 $, podemos fazer $ \vec{v} || \vec{v} \iff \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}} $

Módulo

\[ ||\vec{v}|| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \]

Distância entre dois pontos

\[ d(A, B) = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}} \]

Exemplo

Considere o vetor $ \vec{v} = (2, -1, -3) $. Determine o vetor $ \vec{w} $ tal que $ \vec{w} || \vec{v} $, $ \vec{w} $ tem o mesmo sentido de $ \vec{v} $ e $ ||\vec{w}|| = 3||\vec{v}|| $.

\[ \vec{w} = k\vec{v}, k \in \mathbb{R} ||\vec{w} = 3||\vec{v}|| \implies k||\vec{v}|| = 3||\vec{v}|| \implies k = 3 \therefore \vec{w} = (6, -3, -9) \]

Considere os pontos $ A = (0, 1, -1) $ e $ B = (1, 2, -1) $, e os vetores $ \vec{u} = (-2, -1, 1) $, $ \vec{v} = (3, 0, -1) $ e $ \vec{w} = (-2, 2, 2) $. Existem números $ a $, $ b $ e $ c \in \mathbb{R} $ tais que

\[ \vec{w} = a\vec{AB} + b\vec{u} + c\vec{v} \]

\[ \vec{AB} = B - A = (1 - 0, 2 - 1, -1 -(-1)) = (1, 1, 0) (-2, 2, 2) = (a - 2b + 3c, a - b, b - c) \begin{enumerate} \item a - 2b + 3c = -2 \item a - b = 2 \item b - c = 2 \end{enumerate} \text{Da equação (3), podemos isolar $c$:} c = b - 2 \text{Da equação (2), podemos isolar $a$:} a = b + 2 \text{substituindo em (1):} (b + 2) - 2b + 3(b - 2)= -2 b + 2 - 2b + 3b - 6 = -2 2b - 4 = -2 2b = 2 b = 1 a = b + 2 \implies a = 3 c = b - 2 \implies c = -1 \]

Produto Interno

Plano

O produto interno ou produto escalar entre dois vetores do plano $ \vec{u} = (x_{1}, y_{1}) $ e $ \vec{v} = (x_{2}, y_{2}) $, é denotado por $ \langle \vec{u}, \vec{v} $ (ou $ \vec{u} \cdot \vec{v} $), e definido por

\[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} \]

Exemplo

Calcule o produto interno entre os vetores $ \vec{u} = (2, -5) $ e $ \vec{v} = (-1, 1) $.

\[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = (2 \cdot (-1) + (-5) 1) = (-2 - 5) = -7 \]

Espaço

\[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2} \]

Exemplo

Calcule o produto interno entre os vetores $ \vec{u} = (1, -4, 0) $ e $ \vec{v} = (3, 1, -5) $.

\[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = (1 \cdot 3 + (-4) \cdot 1 + 0 \cdot (-5)) = (3 - 4) = -1 \]

Propriedades

$ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{v}, \vec{u} \rangle $
$ \langle \vec{u}, \vec{v} + \vec{w} \rangle = \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle + \langle \vec{u}, \vec{w} \rangle \text{ e } \langle \vec{u} + \vec{v}, \vec{w} \rangle = \langle \vec{u}, \vec{w} \rangle + \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle $
$ k \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle k\vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{u}, k\vec{v} \rangle $
\( \langle \vec{u}, \vec{u} \rangle = ||\vec{u}||^{2}
$ \langle \vec{u}, \vec{u} \rangle = 0 \iff \vec{u} = 0 $

Proposição

Sejam $ \vec{u} \neq \vec{0} $ e $ \vec{v} \neq \vec{0} $ vetores e $ \theta \in [0, \pi] $ o ângulo entre $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $. Então,

\[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \text{cos } \theta \]

Interpretação Geométrica do Produto Escalar

O produto escalar entre dois vetore não-nulos é o produto entre os seus módulos e o cosseno do ângulo entre eles.

$ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle > 0 \iff 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2} $
$ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle < 0 \iff \frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi $
$ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0 \iff \theta = \frac{\pi}{2} $

Ortogonalidade

\[ \vec{u} \bot \vec{v} \iff \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0 \]

Exemplo

Determine o ângulo entre os vetores $ \vec{u} = (2, -1, -1) $ e $ \vec{v} = (-1, -1, 2) $.

\[ -3 = 6 \text{ cos } \theta \implies \text{cos } \theta = -\frac{3}{6} \implies \text{cos } \theta = -\frac{1}{2} \implies \theta = \text{arcos } \left(-\frac{1}{2}\right) \implies \theta = 120^{\circ} \text{ ou } \frac{2\pi}{3} \]

Exemplo

Determine $ k $ para que os vetores $ \vec{u} = (-2, 3) $ e $ \vec{v} = (k, -4) $ sejam

(a) Ortogonais

(b) Paralelos

(a)

\[ \vec{u} \bot \vec{v} \implies \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0 \implies (-2 \cdot k + 3 \cdot (-4)) = 0 \implies -2k - 12 = 0 \implies -2k = 12 \implies k = -6 \]

(b)

\[ \vec{u} // \vec{v} \implies \vec{v} = x\vec{u} \implies (k, -4) = (-2x, 3x) \implies 3x = -4 \implies x = -\frac{4}{3} \implies -2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) \implies k = \frac{8}{3} \]

Exemplo

Calcule $ ||\vec{u} + \vec{v}|| $, $ ||\vec{u} - \vec{v}|| $ e $ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle $ sabendo que $ ||\vec{u}|| = 4 $, $ ||\vec{v}|| = 3 $ e o ângulo entre $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $ é $ \frac{\pi}{3} $.

Cálculo do Produto Escalar

\[ ||\vec{u}|| = 4 ||\vec{v}|| = 3 \theta = \frac{\pi}{3} \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 4 \cdot 3 \cdot \text{cos } \frac{\pi}{3} \implies \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Cálculo do Módulo da Soma

\[ ||\vec{u} + \vec{v}||^{2} = ||\vec{u}^{2}|| + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + ||\vec{v}||^{2} \implies ||\vec{u} + \vec{v}||^{2} = 16 + 2(6) + 9 \implies ||\vec{u} + \vec{v}||^{2} = 16 + 12 + 9 = 37 \implies ||\vec{u} + \vec{v}||= \sqrt{37} \]

Cálculo do Módulo da Diferença

\[ ||\vec{u} - \vec{v}||^{2} = ||\vec{u}^{2}|| - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + ||\vec{v}||^{2} \implies ||\vec{u} - \vec{v}||^{2} = 16 - 12 + 9 = 13 \implies ||\vec{u} - \vec{v}|| = \sqrt{13} \]

Projeção Ortogonal

A "sombra" que um vetor faz sob uma outra reta. Por ser a "sombra" de um vetor, também é um vetor.

Sejam $ \vec{u} $ e \vec{v} \) dois vetores. A projeção ortogonal de $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $ (denotada por $ Proj_{\vec{v}}^{\vec{U}} $) é

\[ Proj_{\vec{v}}^{\vec{u}} = \frac{\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle}{||\vec{v}||^{2}} \cdot \vec{v} \]

Exemplo

Considere os vetores no plano $ \vec{v} = (1, 1) $ e $ \vec{u} = (2, 5) $. Calcule a projeção ortogonal de $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $. Decomponha $ \vec{u} $ como soma de $ \vec{u}{1} $ com $ \vec{u}{2} $, onde $ \vec{u}{1} || \vec{v} $ e $ \vec{u}{2} \bot \vec{v} $.

\[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = (1 \cdot 2 + 1 \cdot 5) = 7 ||\vec{v}|| = \sqrt{(1)^{2} + (1)^{2}} = \sqrt{2} ||\vec{v}||^{2} = 2 Proj_{\vec{v}}^{\vec{u}} = \frac{7}{2} (1, 1) = \left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right) \vec{u}{1} = \left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right) \vec{u}{2} = \vec{u} - \vec{u}{1} = (2 - \frac{7}{2}, 5 - \frac{7}{2}) \implies \vec{u}{2} = \left(\frac{4}{2} - \frac{7}{2}, \frac{10}{2} - \frac{7}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) \]

Produto Vetorial

Resulta num vetor.

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} x_{1} & y_{1} & z_{1} x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{vmatrix} \]

Com os vetores não tendo um valor definido. Eles apenas servem para indicar as posições ($ \vec_{i} = x $, $ \vec{j} = y $, $ \vec{k} = z $).

Observação Para a operação fazemos $ \vec{i} (y_{1} \cdot z_{2} - y_{2} \cdot z_{1}) - \vec{j} (x_{1} \cdot z_{2} - x_{2} \cdot z_{1}) + \vec{k} (x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1}) = (a, -b, c) $.

Exemplo

Considere os vetores $ \vec{u} = (3, -1, -2) $ e $ \vec{v} = (2, 4, -1) $. Calcule $ \vec{u} \times \vec{v} $.

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} 3 & -1 & -2 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \vec_{i} (1 + 8) - \vec{j} (-3 + 4) + \vec{k} (12 + 2) = (9, -1, 14) \]

Notes