Hipérbole

Quando o corte não é paralelo e os dois cones são cortados.

Definição

Sejam \( F_{1} \) e \( F_{2} \) pontos distintos do plano. Denote \( d(F_{1}, F_{2}) = 2c > 0 \). A hipérbole \( \mathcal{H} \) de focos \( F_{1} \) e \( F_{2} \) é o conjunto do plano que consiste de todos os pontos \( P \) tais que o módulo da diferença das distâncias a \( F_{1} \) e \( F_{2} \) é igual a uma constante \( 2a > 0 \), ou seja,

\[ \mathcal{H} = \{P; |d(P, F_{1}) - d(P, F_{2})| = 2a\} \]

Observação

Pela desigualdade triangular, obtemos que \( a < c \).

Uma hipérbole possui dois focos, \( F_{1} e F_{2} \)
A distância focal ( \( d(F_{1}, F_{2}) \) ) da hipérbole é a distância \( 2c \) entre os focos
A reta focal é a reta \( l \) que passa pelos focos \( F_{1} \) e \( F_{2} \)
O centro da hipérbole é o ponto médio \( C \) do segmento \( F_{1}F_{2} \)
A reta imaginária é a reta \( l' \) que passa pelo centro \( C \) e é perpendicular a reta focal \( l \)
Os vértices da hipérbole são os pontos \( A_{1} \) e \( A_{2} \) nas interseções da hipérbole com a reta focal \( f \)
Os vértices imaginários da hipérbole são os pontos \( B_{1} \) e \( B_{2} \) sobre a reta imaginária \( l' \) tais que \( d(A_{1}, B_{1} = d(B_{1}, A_{2}) = d(A_{1}, B_{2}) = d(A_{2}, B_{2}) = c \)
O eixo real da hipérbole é o segmento \( A_{1}A_{2} \)
O eixo imaginário da hipérbole é o segmento \( B_{1}B_{2} \)
A excentricidade de uma hipérbole é o número real \( e = \frac{c}{a}, (e > 1) \)

Observação \( d(A_{1}, F_{1}) = d(A_{2}, F_{2}) = c - a \) \( d(A_{1}, C) = d(A_{2}, C) = a \)

Observação O comprimento do eixo real da hipérbole é igual a \( 2a \).

Observação Pelo Teorema de Pitágoras, temos que \( d(C, B_{1}) = d(C, B_{2}) = b \) onde \( c^{2} = a^{2} + b^{2} \)

Equação Reduzida

Hipérbole com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo \( y \)

\( A_{1} = (0, -a) \)
\( A_{2} = (0, a) \)
\( B_{1} = (-b, 0) \)
\( B_{2} = (b, 0) \)
\( C = (0, 0) \)
\( F_{1} = (0, -c) \)
\( F_{2} = (0, c) \)
Equação das assíntotas: \( y = -\frac{a}{b}x \text{ e } y = \frac{a}{b}x \)
\( P = (x, y) \in \mathcal{H} \iff \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)

Hipérbole com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo \( x \)

\( A_{1} = (-a, 0) \)
\( A_{2} = (a, 0) \)
\( B_{1} = (0, -b) \)
\( B_{2} = (0, b) \)
\( C = (0, 0) \)
\( F_{1} = (-c, 0) \)
\( F_{2} = (c, 0) \)
Equação das assíntotas: \( y = -\frac{b}{a}x \text{ e } y = \frac{b}{a}x \)
\( P = (x, y) \in \mathcal{H} \iff \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

Hipérbole com centro em \( C = (x_{0}, y_{0}) \) e reta focal paralela ao eixo \( y \)

\( A_{1} = (x_{0}, y_{0} - a) \)
\( A_{2} = (x_{0}, y_{0} + a) \)
\( B_{1} = (x_{0} - b, y_{0}) \)
\( B_{2} = (x_{0} + b, y_{0}) \)
\( C = (x_{0}, y_{0}) \)
\( F_{1} = (x_{0}, y_{0} - c) \)
\( F_{2} = (x_{0}, y_{0} + c) \)
Equação das assíntotas: \( y = -\frac{a}{b}(x - x_{0}) + y_{0} \text{ e } y = \frac{a}{b}(x - x_{0}) + y_{0} \)
Reta focal: \( l : x = x_{0} \)
Reta imaginária: \( l' : y = y_{0} \)
\( P = (x, y) \in \mathcal{H} \iff \frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(x - x_{0})^{2}}{b^{2}} = 1\)

Hipérbole com centro em \( C = (x_{0}, y_{0}) \) e reta focal paralela ao eixo \( x \)

\( A_{1} = (x_{0} - a, y_{0}) \)
\( A_{2} = (x_{0} + a, y_{0}) \)
\( B_{1} = (x_{0}, y_{0} - b) \)
\( B_{2} = (x_{0}, y_{0} + b) \)
\( C = (x_{0}, y_{0}) \)
\( F_{1} = (x_{0} - c, y_{0}) \)
\( F_{2} = (x_{0} + c, y_{0}) \)
Equação das assíntotas: \( y = -\frac{b}{a}(x - x_{0}) + y_{0} \text{ e } y = \frac{b}{a}(x - x_{0}) + y_{0} \)
Reta focal: \( l : x = x_{0} \)
Reta imaginária: \( l' : y = y_{0} \)
\( P = (x, y) \in \mathcal{H} \iff \frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1\)

Equação Geral

\[ Ax^{2} + By^{2} + Cx + Dy + E = 0 \]

Sendo que \( A \) e \( B \) tem sinais contrários.

Notes