Elipse

Quando apenas um dos cones é cortado de uma forma não paralela.

Definição

Sejam \( F_{1} \) e \( F_{2} \) pontos distintos do plano. Denote \( d(F_{1}, F_{2}) = 2c > 0 \). A elipse \( \mathcal{E} \) de focos \( F_{1} \) e \( F_{2} \) é o conjunto do plano que consiste de todos os pontos \( P \), cuja soma das distâncias a \( F_{1} \) e \( F_{2} \) é igual a uma constante \( 2a > 0 \), onde \( a > c \), ou seja,

\[ \mathcal{E} = \{P; d(P, F_{1}) + d(P, F_{2}) = 2a\}, a > c \]

Uma elipse possui dois focos, \( F_{1} e F_{2} \)
A distância focal ( \( d(F_{1}, F_{2}) \) ) da elipse é a distância \( 2c \) entre os focos
A reta focal é a reta \( l \) que passa pelos focos \( F_{1} \) e \( F_{2} \)
O centro da elipse é o ponto médio \( C \) do segmento \( F_{1}F_{2} \)
Os vértices da elipse são os pontos \( A_{1} \), \( A_{2} \), \( B_{1} \) e \( B_{2} \)
O eixo maior é o segmento \( A_{1}A_{2} \)
O eixo menor é o segmento \( B_{1}B_{2} \)

Observação \( d(A_{1}, C) = d(A_{2}, C) = a \) \( d(B_{1}, C) = d(B_{2}, C) = b \) \( d(F_{1}, C) = d(F_{2}, C) = c \) \( d(A_{1}, F_{1}) = d(A_{2}, F_{2}) = a - c \)

Observação O comprimento do eixo maior da elipse é igual a \( 2a \), enquando o do eixo menor é \( 2b \).

Observação \( b^{2} = a^{2} - c^{2} \)

Equação Reduzida

Elipse com centro na origem e eixo focal coincidente com o eixo \( y \)

\( A_{1} = (0, -a) \)
\( A_{2} = (0, a) \)
\( B_{1} = (-b, 0) \)
\( B_{2} = (b, 0) \)
\( C = (0, 0) \)
\( F_{1} = (0, -c) \)
\( F_{2} = (0, c) \)
\( P = (x, y) \in \mathcal{E} \iff \frac{x^{2}}{b^{2}} \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1\)

Elipse com centro na origem e eixo focal coincidente com o eixo \( x \)

\( A_{1} = (-a, 0) \)
\( A_{2} = (a, 0) \)
\( B_{1} = (0, b) \)
\( B_{2} = (0, -b) \)
\( C = (0, 0) \)
\( F_{1} = (-c, 0) \)
\( F_{2} = (c, 0) \)
\( P = (x, y) \in \mathcal{E} \iff \frac{x^{2}}{a^{2}} \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

Observação Um jeito fácil de descobrir com qual eixo o eixo focal coincide é olhando os valores dos denominadores, e lembrando que \( a > b \).

Elipse com centro \( C = (x_{0}, y_{0}) \) e eixo focal paralelo ao eixo \( y \)

\( A_{1} = (x_{0}, y_{0} - a) \)
\( A_{2} = (x_{0}, y_{0} + a) \)
\( B_{1} = (x_{0} - b, y_{0}) \)
\( B_{2} = (x_{0} + b, y_{0}) \)
\( C = (x_{0}, x_{0}) \)
\( F_{1} = (x_{0}, y_{0} - c) \)
\( F_{1} = (x_{0}, y_{0} + c) \)
\( l : x = x_{0} \)
\( P = (x, y) \in \mathcal{E} \iff \frac{(x - x_{0})^{2}}{b^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{a^{2}} = 1\)

Elipse com centro \( C = (x_{0}, y_{0}) \) e eixo focal paralelo ao eixo \( x \)

\( A_{1} = (x_{0} - a, y_{0}) \)
\( A_{2} = (x_{0} + a, y_{0}) \)
\( B_{1} = (x_{0}, y_{0} - b) \)
\( B_{2} = (x_{0}, y_{0} + b) \)
\( C = (x_{0}, x_{0}) \)
\( F_{1} = (x_{0} - c, y_{0}) \)
\( F_{1} = (x_{0} + c, y_{0}) \)
\( l : y = y_{0} \)
\( P = (x, y) \in \mathcal{E} \iff \frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1\)

Observação Para ver com que eixo o eixo focal é paralelo, basta ver o denominador da equação. Se o que tem \( x \) em cima é maior, então é paralelo com o eixo \( x \), e se o que tem \( y \) é maior, então é paralelo com \( y \).

Excentricidade

Diz o quão achatada a elipse é.

\[ e = \frac{c}{a}, (0 < e < 1) \]

Quanto mais próximo de 0 a excentricidade é, mais arredondada é a elipse.

Equação Geral

\[ Ax^{2} + By^{2} + Cx + Dy + E = 0 \]

Notes