Parábola
Obtida ao cortar um cone de forma paralela à geratriz de \( C \).
Definição
Sejam \( d \) uma reta no plano e \( F \) um ponto não pertencente a \( d \). A parábola \( \mathcal{P} \) de diretriz \( d \) e foco \( F \) é o conjunto que consiste em todos os pontos \( P \) do plano, equidistantes do ponto \( F \) e da reta \( d \), isto é,
\[ \mathcal{P} = \{P; d(P, F) = d(P, d_{\text{reta}})\} \]
O eixo \( e \) da parábola é a reta que passa pelo foco \( F \) e é perpendicular a reta diretriz \( d \). O vértice \( V \) da parábola é o ponto de interseção da parábola com o eixo \( e \).
Equações Reduzidas
Parábola com vértice na origem e eixo coincidente com o eixo \( y \)
- \( F = (0, a) \)
- \( a \neq 0 \)
- \( d(V, d) = d(V, F) = |a| \)
- \( d \) é uma reta horizontal
- \( d: y = -a \)
\( P = (x, y) \in \mathcal{P} \iff d(P, F) = d(P, d) \). A reta que passa pelo ponto \( P = (x, y) \) e é perpendicular a reta diretriz \( d \) intersecta \( d \) no ponto \( P = (x, -a) \), consequentemente,
\[ d(P, d) = d(P, P') = \sqrt{(y + a)^{2}} = |y + a| \]
\[ P = (x, y) \in \mathcal{P} \iff x^{2} = 4ay \]
Abertura
- \( a > 0 \) indica uma abertura para cima
- \( a < 0 \) indica uma abertura para baixo
Parábola com vértice na origem e eixo coincidente com o eixo \( x \)
- \( F = (0, a) \)
- \( a \neq 0 \)
- \( d(V, d) = d(V, F) = |a| \)
- \( d \) é uma reta vertical
- \( d: x = -a \)
\( P = (x, y) \in \mathcal{P} \iff d(P, F) = d(P, d) \). A reta que passa por \( P = (x, y) \) e é perpendicular a reta diretriz \( d \) intersecta \( d \) no ponto \( P = (-a, y) \), consequentemente,
\[ d(P, d) = d(P, P') = \sqrt{(x + a)^{2}} = |x + a| \]
Abertura
- \( a > 0 \) indica uma abertura para direita
- \( a < 0 \) indica uma abertura para esquerda
Parábola com vértice em \( V = (x_{0}, y_{0}) \) e eixo paralelo ao eixo \( y \)
- \( F = (x_{0}, y_{0} + a) \)
- \( a \neq 0 \)
- \( d \) é uma reta horizontal
- \( d: y = y_{0} - a \)
- \( e: x = x_{0} \)
- \( (x - x)^{2} = 4a(y - y_{0}) \)
Abertura
- \( a > 0 \) indica uma abertura para cima
- \( a < 0 \) indica uma abertura para baixo
Parábola com vértice \( V = (x_{0}, y_{0}) \) e eixo paralelo ao eixo \( x \)
- \( F = (x_{0} + a, y_{0}) \)
- \( a \neq 0 \)
- \( d \) é uma reta vertical
- \( d: x = x_{0} - a \)
- \( e: y = y_{0} \)
- \( (y - y_{0})^{2} = 4a(x - x_{0}) \)
Abertura
- \( a > 0 \) indica uma abertura para direita
- \( a < 0 \) indica uma abertura para esquerda
Equação Geral
- Paralelo ao eixo \( y \): \( Ax^{2} + Cx + Dy + E = 0, A \neq 0 \)
- Paralelo ao eixo \( x \): \( By^{2} + Cx + Dy + E = 0, B \neq 0 \)