Continuidade

Uma função \( f \) é contínua em un número \( a \) se

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

Exemplo

Onde cada uma das seguintes funções é descontínua?

(a) \( f(x) = \frac{x^{2} - x -}{x - 2} \)

(b) \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x^{2}} & \text{se } x \neq 0 \ 1 & \text{se } x = 0 \end{cases} \)

(a) Observe que \( f(2) \) não está definida; logo, \( f \) é descontínua em 2.

(b) Aqui \( f(0) = 1\) está definida, mas

\[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} \]

não existe. Então \( f \) é descontínua em 0.

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 3 \]

existe. Mas

\[ \lim_{x \to 2} \neq f(2) \]

logo, \( f \) não é contínua em 2.

Lateralidade

Uma função \( f \) é contínua à direita em um número \( a \) se

\[ \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a) \]

e \( f \) é contínua à esquerda em \( a \) se

\[ \lim_{x \to a^{-}} = f(a) \]

Uma função \( f \) é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números do intervalo. Se \( f \) for definida somente de um lado da extremidade do intervalo, entendemos continuidade na extremidade como continuidade à direita ou à esquerda.

Exemplo

Mostre que a função \( f(x) = 1 - \sqrt{1 - x^{2}} \) é contínua no intervalo [-1, 1].

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} (1 - \sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \lim_{x \to a} \sqrt{1 - x^{2}} = 1 - \sqrt{\lim_{x \to a} (1 - x^{2})} = 1 - \sqrt{1 - a^{2}} = f(a) \]

Assim, pela definição, \( f \) é contínua em \( a \) se \( -1 < a < 1 \). Cálculos análogos mostram que

\[ \lim_{x \to -1^{+}} f(x) = 1 = f(-1) \text{ e } \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = 1 = f(1) \]

logo, \( f \) é contínua à direita em -1 e contínua à esquerda em 1. Consequentemente, de acordo com a definição de continuidade em intervalo, \( f \) é contínua em [-1, 1].

Teorema do Intervalo

Se \( f \) e \( g \) forem contínuas em \( a \) e se \( c \) for uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em \( a \):

\( f + g \)
\( f - g \)
\( cf \)
\( fg \)
\( \frac{f}{g} \) se \( g(a) \neq 0 \)

Teorema dos Conjuntos

(a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte.

(b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; ou seja, é contínua em seu domínio

Exemplo

Encontre \( \lim_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 2x^{2} - 1}{5 - 3x} \).

A função

\[ f(x) = \frac{x^{3} + 2x^{2} - 1}{5 - 3x} \]

é racional; assim, pelo Teorema dos Conjuntos, é contínua em seu domínio, que é \( {x|x \neq \frac{5}{3}} \).

Logo

\[ \lim_{x \to -2} \frac{x^{3} + 2x^{2} - 1}{5 - 3x} = \lim_{x \to -2} f(x) = f(-2) = \frac{(-2)^{3} + 2(-2)^{2} - 1}{5 - 3(-2)} = -\frac{1}{11} \]

Teorema das Operações

Se \( f \) e \( g \) froem contínuas em \( a \) e \( c \) for uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em \( a \):

\( f + g \)
\( f - g \)
\( cf \)
( fg \)
\( \frac{f}{g} & g(a) \neq 0 \)

Teorema dos Tipos de Funções Contínuas

Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios:

Polinômios
Funções Trigonométricas
Funções Trigonométricas Inversas
Funções Exponenciais
Funções Racionais
Funções Logarítmicas
Funções Raízes

Exemplo

Onde a função \( f(x) = \frac{\ln x + \text{tg}^{-} x}{x^{2} - 1} \) é contínua?

Pelo Teorema dos Tipos de Funções Contínuas, sabemos que \( y = \ln x \) é contínua para \( x > 0 \) e que \( y = \text{tg}^{-1} x \) é contínua em \( \mathbb{R} \). Assim, pelo Teorema dos Tipos de Funções Contínuas, \( y = \ln x + \text{tg}^{-1} x \) é contínua em \( (0, \infty) \).

O denominador \( y = x^{2} - 1 \) é um polinômio, portanto é contínuo em toda a parte.

Assim, \( f \) é contínua em todos os números postivos \( x \), exceto onde \( x^{2} - 1 = 0 \). Logo, \( f \) é contínua nos intervalos aberto \( (0, 1) \) e \( (1, \infty) \).

Exemplo

Calcule \( \lim_{x \to \pi} \frac{\text{sen } x}{2 + \text{cos } x} \).

O Teorema ods Tipos de Funções Contínuas nos diz que \( y = \text{sen } x \) é contínua. \( y = 2 + \text{cos } x \) é a soma de duas funções contínuas, e, portanto, é contínua. Logo, a razão

\[ f(x) = \frac{\text{sen } x}{2 + \text{cos } x} \]

é sempre contínua. Portanto, pela definição de função contínua,

\[ \lim_{x \to \pi} \frac{\text{sen } x}{2 + \text{cos } x} = \lim_{x \to \pi} f(x) = f(\pi) = \frac{\text{sen } \pi}{2 + \text{cos } \pi} = \frac{0}{2 - 1} = 0 \]

Teorema das Funções Compostas

\[ \lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) \]

Exemplo

Calcule \( \lim_{x \to 1} \text{arcsen } \left(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}\right) \).

Uma vez que \( \text{arcsen} \) é uma função contínua, podemos aplicar o Teorema das Funções Compostas:

\[ \lim_{x \to 1} \text{arcsen } \left(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}\right) = \text{arcsen } \left(\lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}\right) = \text{arcsen } \left(\lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})}\right) = \text{arcsen } \left(\lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + \sqrt{x}}\right) = \text{arcsen } \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \]

Teorema do Valor Intermediário

Suponha que \( f \) seja contínua em um intervalo fechado \( [a, b] \) e seja \( N \) um número qualquer entre \( f(a) \) e \( f(b) \), em que \( f(a) \neq f(b) \). Então existe um número \( c \) em \( (a, b) \) tal que \( f(c) = N \).

Exemplo

Mostre que existe uma raiz da equação

\[ 4x^{3} - 6x^{2} + 3x - 2 = 0

entre 1 e 2.

Seja \( f(x) = 4x^{3} - 6x^{2} + 3x - 2 \). Estamos procurando por uma solução da equação dada, isto é, um número \( c \) entre 1 e 2 tal que \( f(c) = 0 \). Portanto, tomamos \( a = 1 \), \( b = 2 \) e \( N = 0 \) no Teorema do Valor Intermediário. Temos

\[ f(1) = 4 - 6 + 3 - 2 = -1 < 0 f(2) = 32 - 24 + 6 - 2 = 12 > 0 \]

Logo, \( f(1) < 0 < f(2) \), isto é, \( N = 0 \) é um número entre \( f(1) e f(2) \). Como \( f \) é contínua, por ser um polinômio, o Teorema Do Valor Intermediário afirma que existe um número \( c \) entre 1 e 2 tal que \( f(c) = 0 \). Em outras palavras, a equação \( 4x^{3} - 6x^{2} + 3x - 2 = 0 \) tem pelo menos uma raiz \( c \) no intervalo \( (1, 2) \).

Notes