Cálculos Usando Propriedades dos Limites
- Propriedade da Soma: \( \lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \)
- Propriedade da Diferença: \( \lim_{x \to a}[f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \)
- Propriedade da Multiplicação por Constante: \( \lim_{x \to a}[cf(x)] = c \lim_{x \to a} f(x) \)
- Propriedade do Produto: \( \lim_{x \to a}[f(x)g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \)
- Propriedade do Quociente: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \) se \( \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \)
- Propriedade da Potência: \( \lim_{x \to a} [f(x)]^{n} = \left[\lim_{x \to a} f(x)\right]^{n} \)
- Propriedade da Constante: \( \lim_{x \to a} c = c \text{ e } \lim_{x \to a} x = a \)
- Propriedade do Expoente: \( \lim_{x \to a} x^{n} = a^{n} \)
- Propriedade da Raiz: \( \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \)
Exemplo
Calcule os limites.
(a) \( \lim_{x \to 5} (2x^{2} - 3x + 4) \)
(b) \( \lim_{x \to -2} \frac{x^{3} + 2x^{2} - 1}{5 - 3x} \)
(a)
\[ \lim_{x \to 5} (2x^{2} - 3x + 4) = \lim_{x \to 5} (2x^{2}) - \lim_{x \to 5} (3x) + \lim_{x \to 5} 4 = 2 \lim_{x \to 5} x^{2} = 3 \lim_{x \to 5} x + \lim_{x \to 5} 4 = 2(5^{2}) - 3(5) + 4 = 39 \]
(b)
\[ \lim_{x \to -2} \frac{x^{3} + 2x^{2} - 1}{5 - 3x} = \frac{\lim_{x \to -2} (x^{3} + 2x^{2} - 1)}{\lim_{x \to -2} (5 - 3x)} = \frac{\lim_{x \to -2} x^{3} + 2 \lim_{x \to -2} x^{2} - \lim_{x \to -2} 1}{\lim_{x \to -2} 5 - 3 \lim_{x \to -2} x} = \frac{(-2)^{3} + 2(-2)^{2} - 1}{5 - 3(-2)} = -\frac{1}{11} \]
Propriedade de Substituição Direta
Se \( f \) for uma função polinomial ou racional e \( a \) estiver no domínio de \( f \), então
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]
Exemplo
Encontre \( \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \).
Não podemos encontrar o limite fazendo \( x = 1 \), então temos que encontrar outro jeito.
Podemos fatorar o numerador como uma diferença de quadrados para eliminar o denominador:
\[ \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \]
Isso é possível pois, quando \( x \) tende a 1, temos que \( x \neq 1 \) e, assim, \( x - 1 \neq 0 \).
\[ = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \]
Observação Se \( f(x) = g(x) \) quando \( x neq a \), então \( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) \), desde que o limite exista.
Exemplo
Encontre \( \lim_{ \to 1} g(x) \) onde
\[ g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{se } x \neq 1 \pi & \text{se } x = 1 \end{cases} \]
Aqui \( g \) está definida em \( x = 1 \), e \( g(1) = \pi \), mas o valor de um limite não depende do valor da função em 1. Como \( g(x) = x + 1 \) para x \neq 1, temos
\[ \lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \]
Exemplo
Calcule \( \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^{2} - 9}{h} \).
Não podemos simplesmente fazer \( h = \), então temos que usar um pouco de álgebra.
Expandindo o produto notável do numerador, obtemos
\[ \frac{(9 + 6h + h^{2}) - 9}{h} \]
Que pode ser novamente simplificado
\[ \frac{6h + h^{2}}{h} = \frac{h(6 + h)}{h} = 6 + h \]
Com isso, agora podemos fazer \( h = 0 \)
\[ \( \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^{2} - 9}{h} \) = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6 \]
Exemplo
Encontre \(lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^{2} + 9} - 3}{t^{2}} \).
\[ \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^{2} + 9} - 3}{t^{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^{2} + 9} - 3}{t^{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 9} + 3}{\sqrt{x^{2} + 9} + 3} = \lim_{t \to 0} \frac{(t^{2} + 9) - 9}{t^{2}(\sqrt{t^{2} + 9} + 3)} = \lim_{t \to 0} \frac{t^{2}}{t^{2}(\sqrt{t^{2} + 9} + 3)} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 9} + 3} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{\lim_{t \to 0} (t^{2} + 9)} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6} \]
Exemplo
Mostre que \( \lim_{x \to 0} |x| = 0 \).
\[ |x| = \begin{cases} x & \text{se } \geq 0 -x & \text{se } < 0 \end{cases} \]
Uma vez que \( |x| = x \) para \( x > 0 \), temos
\[ \lim_{x \to 0^{+}} |x| = \lim_{x \to 0^{+}} = 0 \]
Para \( x < 0 \), temos \( |x| = -x \) e, assim,
\[ \lim_{x \to 0^{-}} |x| = \lim_{x \to 0^{-}} (-x) = 0 \]
Pela conclusão de limites laterais, temos que
\[ \lim_{x \to 0} |x| = 0 \]
Exemplo
Demonstre que \( \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \) não existe.
Fazendo pela esquerda
\[ \lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} -1 = -1 \]
Agora pela direita
\[ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} 1 = 1 \]
Como \( -1 \neq 1 \), o limite não existe.
Exemplo
Se
\[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x - 4} & \text{se } x > 4 8 - 2x & \text{se } x < 4 \end{cases} \]
determine se \( \lim_{x \to 4} f(x) \) existe.
Fazendo pela esquerda
\[ \lim_{x \to 4^{-}} f(x) = \lim_{x \to 4^{-}} (8 - 2x) = 8 - 2 \cdot 4 = 0 \]
Fazendo pela direita
\[ \lim_{x to 4^{+}} f(x) = \lim_{x \to 4^{+}} \sqrt{x - 4} = \sqrt{4 - 4} = 0 \]
Como \( 0 = 0 \), o limite existe.
Igualdade de Limites
Se \( f(x) \leq g(x) \) quando \( x \) está próximo a \( a \) (exceto possivelmente em \( a \)) e os limites de \( f \) e \( g \), ambos existem quando \( x \) tende a \( a \), então
\[ \lim_{x \to a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x) \]
Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche)
Se \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \) quando \( x \) está próximo a \( a \) (exceto possívelmente em \( a \)) e
\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \]
então
\[ \lim_{x \to a} g(x) = L \]
Exemplo
Mostre que \( \lim_{x \to 0} x^{2} \tex{sen } \frac{1}{x} = 0 \).
Como os valores de \( \text{sen} \) estão sempre -1 e 1, podemos escrever
\[ -1 \leq \text{sen } \frac{1}{x} \leq 1 \]
Como qualquer inequação permanece verdadeira quando multiplicada por um número positivo, pdemos multiplicar essa inequação por \( x^{2} \) (visto que \( x^{2} \geq 0 \forall x \))
\[ -x^{2} \leq x^{2} \text{sen } \frac{1}{x} \leq x^{2} \]
Sabemos que
\[ \lim_{x \to 0} x^{2} = 0 \text{ e } \lim_{x \to 0} (-x^{2}) = 0 \]
Usando o Teorema do Confronto, então temos que
\[ \( \lim_{x \to 0} x^{2} \tex{sen } \frac{1}{x} = 0 \) \]